쌍성계-- 두 별이 한 점을 중심으로 선회하고 있는 계--에서 별들의 질량을 결정하기 위해서는 케플러의 제 3법칙을 적용해야 한다. 두 별의 질량 합이 클수록 중력 가속도는 더 커지며, 궤도 주기는 짧아지게 된다. 은하내에 있는 수십억, 수백억개의 별들의 대부분은 둘 또는 셋 이상씩 짝을 지어 서로의 주변을 돌고 있다. 대개 보이는 쌍성들은 분광 쌍성(spectroscopic binary)들이다. 우리에게서 매우 멀리 떨어져 분광 쌍성계를 자세히 관측하기는 어려우나, 한 점을 중심으로 서로의 주위를 공전하고 있으므로 스펙트럼을 통해 주기적으로 편이된 파장을 구하여 각 각의 별에 대해 알 수 있다. 가까운 별들보다 멀리 떨어진 별들이 훨씬 더 많고, 도플러 편이로 별들의 속도를 구할 수 있으므로 분광 쌍성이 별들의 질량을 구하는데 많이 이용된다.

케플러 제 3법칙을 뉴턴의 법칙 형태로 한 것은 두 별의 질량합을 보여준다: (질량 1 + 질량2) = (거리 차 )³/(궤도주기)²
만일 질량의 단위로 태양질량을, 거리에 A.U.를 쓰는 경우 궤도주기의 단위는 년을 사용한다. 두 별 사이의 거리는 케플러 3법칙에 사용되나 그들이 돌고 있는 중심점으로부터 각 별들까지의 거리는 별들 각 각의 질량을 구하는데 이용된다.

별들의 질량이 거의 비슷한 관계로 두 별은 둘 사이의 질량 중심을 중심으로 돌고 있다. 이 질량 중심(center of mass) (C.M.)은 (별1의 질량) × (질량 중심에서 별 1까지 거리) = (별 2의 질량) × (질량 중심에서 별 2까지 거리), 의 위치에 있거나 두 별이 균형을 이룰 수 있는 지점에 있다.(두 별이 시소를 타고 있다고 생각할때- 아래의 그림에서 ``x''점에 해당한다). 무거운 별이 질량 중심에 더 가깝고 더 느리게 움직이므로 그 스펙트럼선의 편이량은 가벼운 별보다 더 작다.

뉴턴의 중력 법칙으로 이것을 설명할 수 있다. 질량이 큰 별에 의해 생긴 중력은 작은 질량을 가진 별의 운동에 큰 중력 가속도를 야기시킨다. 그래서 작은 질량을 가진 별은 큰 궤도를 그리며 빠른 속도로 운동한다. 질량이 작은 별에 의해 생긴 중력은 질량이 큰 별에 작은 가속도를 만들어내기 때문에 질량이 큰 별은 느린 속도로 작은 궤도를 그리는 운동을 한다. 우리는 이것을 뉴턴의 두번째, 세번째 운동법칙 이용하여 어떻게 설명할 수 있을지 생각해보자.

어떤 별이 움직인 거리는 속도 × 걸린 시간 이다. 별이 움직인 거리는 궤도의 원주이므로, 이는 = 2p × 궤도 반경이다. 그러므로 각 별에서 질량 중심까지의 거리 r = 별의 속도×별의 궤도 주기 / (2p). 케플러 3법칙과 질량중심 방정식으로 별의 속도를 구한다. 그리고 스펙트럼선의 도플러 편이는 시선속도 곡선(radial velocity curve)을 그리는데 이용한다.---시간에 대한 시선속도 그래프 . 질량이 작은 별이 큰 별보다 더 빨리 움직일 것이다.

그런데 만일 쌍성계의 궤도 평면이 우리 시야에 대해 i.정도 기울어져 있다면 어떤 궁금증이 생겨난다. 곧, 시선속도= 전체속도× Sin(우리의 시선에서 올라간 각도).가 되기 때문이다. 궤도 평면이 우리의 시선과 이룰 수 있는 각의 범위 i 는 우리와 마주 보고 있을 때의 0°에서 i =90°까지가 된다. 이 경사각은 시선속도 - 시간 그래프로 대략 결정할 수 있다. 만일 이 쌍성계가 식쌍성이라면 경사각은 i=90°가 된다. 왜냐하면 이 두 별은 일정한 주기로 서로의 앞을 지나가기 때문이다. 이러한 식쌍성들을 통해 우리는 두 별의 정확한 직경도 유추할 수 있다. 그 과정은 다음장에서 다룰 예정이다. 시선속도의 측정 방법은 다른 별의 주변을 돌고 있는 별과 블랙홀의 위치를 알아내는데 사용된다.

아래의 법칙들을 기억하라:

1. 별들은 그들의 공통 질량중심을 중심으로 돈다.
2. 질량이 큰 별은 작은 별보다 느린 속도로 돈다.
3. 질량중심은 별 A의 질량 × 별 A의 속도 = 별 B의 질량 ×별 B의 속도인 점에 있다.

각 별에서 질량중심까지의 거리를 계산하여 두 별의 질량비를 산출할 수 있다. 아래에 각 별의 질량을 구하는 방법과 단계를 설명하였다 :

1. 케플러 제 3법칙으로부터 총질량(M_a + M_b )을 구하라.
2. 총질량에 대한 두 별의 질량비를 구하라.(질량중심으로부터 각 별까지의 거리이용) : (M_a )/(M_b) = (질량중심에서 별B까지 거리)/(질량중심에서 별까지 거리) 또는 (M_a )/(M_b)= (V_b )/(V_a ) 분자, 분모를 잘 구분해서 계산하라.
3. M_a =(M_b )× (질량중심에서 별B까지 거리)/(질량중심에서 별까지 거리)이고 이것을 첫 단계의 M_a 에 대입하라. M_b = 총질량/(1 + (질량중심에서 별B까지 거리)/(질량중심에서 별까지 거리))를 알 수 있다.
4. M_a =M_b ×{(질량중심에서 별B까지 거리)/(질량중심에서 별까지 거리)}.
5. 두 질량의 합이 총질량과 같은지 검산하라.

어떻게 할 수 있을까? 아래의 그림에 표시된 관측 속도를 이용하여 별들 각 각의 질량을 구하라. 별들의 주기는 4/3년이고 떨어진 거리는 4 A.U.이다. Step 1: 케플러의 제3 법칙으로 총질량은= 43/(4/3)2 = 64/(16/9) = 36 M⊙(태양질량)이다. Step 2: 질량이 큰 별을 ``별 A''라 하자. 그러면 (별A의 질량)/(별 B의 질량) = 400/100 = 4이다. Step 3: 별 B의 질량 = 36 M⊙/(1 + 4) = 7.2⊙이다. Step 4: 별 A의 질량 = 별 B의 질량 × 4 = 28.8⊙이다. Step 5: 검산: 28.8 ⊙+ 7.2⊙= 36⊙. 따라서 이 계산에 오류는 없다.

천문용어

공식

• 질량중심 거리:별 A의 질량 /별 B의 질량 = 별 B의 거리 / 별 A의 거리, 각 거리는 질량 중심으로부터의 거리.
• 두 별 사이의 거리= 별 A의 거리 + 별 B의 거리, 각 거리는 질량 중심으로부터의 거리. 거리를 분모로 하여 계산하라.
• 질량중심 속도:별 A의 질량 /별 B의 질량 = 별 B의 속도 /별A의 속도. 속도 값을 분모로 하여 계산하라.
• 케플러 제 3법칙 : (별 A의 질량 + 별 B의 질량 ) = (두 별 사이의 거리)³ / (공전 주기)². 질량의 단위를 M_⊙(태양질량)로 하는 경우 거리는 A.U.를 , 공전 주기는 년으로 하는 것을 잊지마라.

연습문제

1. 별들의 질량은 어떻게 구할 수 있는가? 어떤 별들이 이용되며 무슨 법칙을 응용하는가?
2. 질량이 큰 별은 작은 별보다 얼마나 더 질량중심에 가까운가?
3. 별들의 질량비와 거리차를 계산할때 시선속도 곡선은 어떻게 이용이 되는가?
   질량이 작은 별은 큰 별보다 얼마나 더 빠른가?
4. 각 별 사이의 거리차가 2 A.U.인 세쌍성계(세개의 별이 공통 질량중심 주위를 공전하는 계)가 있다. 계(1)은 1년의 주기로 서로의 주변을 돌고, 계(2)는 5년의 주기로 서로의 주변을 돈다. 계(3)은 2년을 주기로 서로의 주변을 공전한다. 총질량이 큰 순서대로 세개의 계를 정리하라.
5. 별 A는 질량중심으로부터 0.2 A.U. 떨어져 있고 그 동반성인 별 B는 질량중심으로부터 0.6 A.U. 의 거리에 있다. 어떤 별의 질량이 더 큰가?
6. 앞의 두 별의 공전주기가 0.35777년이라면 각 별의 질량은 얼마인가?
   (힌트: 케플러 3법칙으로 그들의 총질량을 구하고 질량 중심으로부터 각 별까지의 거리를 이용하여 각 별의 질량비를 구하라.)
7. 위의 시선속도 곡선에서 별 A의 속도는 90 km/s이고 별 B의 속도는 10km/s라 가정하자.만일 두 별의 거리차가 10 A.U.이고 공전 주기가 10년이라면, 두 별의 질량합은 얼마인가?
   질량중심으로부터 각 별까지의 거리비를 이용하여 두 별의 질량비를 구한 뒤, 각 별의 질량을 계산하라.
8. 아래의 별들로 이루어진 계가 있다고 하자. 어떤계에서 시선속도를 구할 수 있는가? :
   (a)우리의 시선과 0^°의 경사각을 이루는 공전면을 도는 별들의 계 .
   (b)우리의 시선과 90^°의 경사각을 이루는 공전면을 도는 별들의 계.
   (c)우리의 시선과 경사각30^°를 이루며 공전하는 별들의 계.