미적분이 뭐지?
1. 미적분은 어디에 쓰는거야?
미적분학은 현대 과학과 수학에서 빠질 수 없는 학문입니다. 미적분학이 태어난 물리학과 수학은 물론 화학, 생물학, 공학을 넘어 건축, 경제학까지 그 영향력이 커지고 있습니다. 경제학과에서도 미적분학을 모르면 수업을 할 수 없을 정도이니까요. 최근에는 자연스러운 움직임을 표현하기 위해 컴퓨터 게임은 물론 에니메이션, 영화, 디자인까지 미적분학이 쓰이고 있습니다. 이처럼 우리의 삶 속에서 미적분학은 빠질 수 없는 존재입니다. 물론 모든 사람들이 알아야 할 학문은 아니지만… 많은 분야에서 필요로 하기 때문에 기본정도는 알아두는 것도 나쁘지 않을 것 같습니다..^^
2. 미적분은 무얼 하는걸까?
미분은 무엇일까요? 좌표평면에 아무렇게 곡선을 하나 그려봅시다. 그 다음에 마음에 드는 점의 접선을 그려보도록 합시다. 우리가 흔히 연습장에 하는 낙서처럼요. 여기서 접선의 기울기를 구하는 방법을 미분(Derivative)이라고 합니다. 아무렇게나 그린 곡선은 임의의 함수가 되고요. 미분이란 임의의 함수에서 어떤 점의 접선의 기울기를 구하는 것을 말합니다. 별로 어렵지 않죠?
다시 낙서장으로 돌아갑시다. 낙서를 하다가 미분을 찾았으니 적분도 똑같이 찾을 수 있겠죠? 아무렇게나 그린 곡선과 좌표평면 사이를 색칠해봅시다. 범위는 여러분 마음대로 정하시면 됩니다. 이렇게 임의의 곡선과 좌표평면이 이루는 면(색칠한 부분)의 넓이를 구하는 것이 적분(Integration)이라고 합니다.
정리를 하면, 미분은 접선의 기울기를 구하는 것이고, 적분은 그래프 아래의 넓이를 구하는 것이죠. 아래 그림을 보면 더욱 쉽게 이해가 가실겁니다.
왼쪽의 그림은 미분, 오른쪽의 그림은 적분을 나타냅니다..^^
알고보니 별 것도 아니죠?
3. 자연과학에서 미적분이 필요한 이유는?
미적분학이 태어난 배경을 살펴봅시다. 필요한 이유를 설명하는데 왜 역사 이야기가 나오냐구요? 들어보시면 알게 됩니다.
미적분학은 뉴턴이 고안해냈다고 합니다. 물론 비슷한 때에 라이프니츠 역시 독자적으로 미적분학을 만들었지요. 그러나 결국 미적분학의 시작은 뉴턴이라고 많이 듣게 됩니다.(라이프니츠는 억울하겠어요.)
뉴턴은 우주에서 지구와 태양 그리고 다른 행성들의 움직임을 연구했고 여기서 미적분을 만들게 됩니다. 그는 우주를 통해 물체의 움직임을 연구하면서 물리학이라는 학문의 문을 열게 되었습니다. 그리고 이를 수학이라는 언어로 설명하기 위해 미적분학을 고안해냈던 것이지요. 결국 자연을 연구하기 위해 미적분학이 만들어진 것입니다.
뉴턴이 처음 미적분학을 소개했던 프린키피아
실제로 이런 행성의 운동 뿐만 아니라 시간을 포함한 대부분의 자연현상은 연속적이며 부드럽게 변화합니다. 이 때문에 이런 관계를 그래프에 나타낼 수 있고 미분과 적분을 사용할 수 있게 됩니다. 우리는 미적분이라는 기술을 통해 앞으로 자연현상이 어떻게 그려질지 예측할 수 있게 되었습니다.
미적분은 자연현상을 연구하면서 만들어진 수학입니다. 따라서 자연현상을 설명하는 가장 직관적인 수학이기도 하지요. 이런 이유로 자연과학에서는 미적분학이 꼭 필요하답니다.
4. 이 강좌의 소개 & 공부하는 방법.
강좌의 내용은 미적분학의 기초적인 설명과 사고 방법, 예제와 풀이로 구성이 될 것입니다. 미적분을 처음 접하는 분들을 위한 강좌인만큼 기초적인 내용을 충실히 설명하려고 노력했습니다. 그렇지만 이 강좌만으로는이해가 잘 안되는 내용이 있을 수 있습니다. 이럴 때 가장 좋은 방법은 누군가 직접 설명을 해주는 것입니다. 그러나 미적분학을 잘하는 사람이 항상 있을 수는 없지요. 고등학교 교과서나 대학교 교과서를 같이 보시면 큰 도움이 될 것입니다. 그래도 이해가 안되신다면 게시판에 질문을 하세요. 친절하게 답변을 해드리겠습니다.
참고도서는 다음과 같습니다. 미적분학을 책으로 공부하실 분들께 좋은 교과서들입니다. 출판사로부터 홍보해달라는 말은 들은 적이 없어요~~ㅋ
l Thomas’ Calculus 11th edition(int ver) / Addison Wiesley (토마스 미적분학 책은 교과서로 쓰기에 매우 좋습니다. 이외에도 좋은 책이 많이 있어요)
l Schaum’s Outlines Calculus 4th edition / Mc Graw Hill (샴 씨리즈라는 책입니다. 필요한 이론이 간략하게 소개가 되어있으며 문제가 많은 것이 특징입니다. )
l Wikipedia.org (필요한 이미지나 부가적인 설명 등 전문적이면서도 상세한 내용이 많이 있습니다.)
l 수학의 정석 수II (고등학생이라면 누구나 보게 될…정석입니다 ㅋ)
강좌에서 나오는 이미지는 대부분 직접 만든답니다. 정말 노가다지요.ㅜㅜ 가끔 만들기 어려운 이미지는Thomas’ 책이나 Schaum’s