Levi-civita와 kroneker-delta

조우성 2010-03-11 (목) 21:21 9632 6

웹 아카이브(2016-12-29 기록)에서 복원한 글입니다. 일부 이미지나 첨부파일이 빠져 있을 수 있습니다.

대학교 2학년 일반역학에서 나오는 내용입니다. 책에서 중요하다고 말은 안하는데 막 쓰는...Notation중 하나인 것 같아서 정리했습니다.

원본은 제 블로그에 있습니다. (위의 홈페이지 주소를 누르시면 됩니다.)

수리물리에서 자주 등장하는 Symbol 중 가장 기초적인 것은 Kroneker-Delta(크로네커-델타)와 Levi-Civita Symbol(레비 시비타 심볼)이 있습니다.

우선 약속부터 보면,

(1) Kroneker-Delta

$delta_{ij} = left{ begin{array}{ll} 0 & i not= j 1 & i=j end{array} right.$

크로네커 델타의 경우 인덱스의 두개가 같으면 1이고 다르면 0이 됩니다.

(2) Levi-Civita

$epsilon_{ijk} = left{ begin{array}{ll} 1 & textrm{permutation} -1 & textrm{anti-permutation} 0 & textrm{all other cases} end{array} right.$

레비-시비타의 경우 permutation이라는 단어가 나옵니다. 순열이라는 뜻인데요. 이는 1,2,3 이 순서대로 나오는 것을 의미합니다.

따라서 123 혹은 231, 312를 의미합니다. 숫자의 순서가 바뀌지 않으면서 배열되어야 하지요.

이와 반대의 경우는 permutation이 아닌 경우(반대의 경우) 입니다. 즉 213, 213, 321 인 경우이지요.

$epsilon_{123}=-epsilon_{132}$

3개의 숫자를 세 번 써서 만들 수 있는 경우의 수 중에 이 6가지를 제외한 다른 방법은 모두 같은 숫자가 2개 이상 들어가게 됩니다.

따라서 이런 경우에는 값이 0이 됩니다.

이런 약속은 왜 쓰냐구요? 크로네커 델타의 경우는 다양하게 쓰입니다. 예를 들자면 직교성을 살펴볼 때 사용할 수 있습니다.

$hat x cdot hat y = delta_{xy} = 0 hat x cdot hat x = delta_{xx} = 1$

레비-시비타는 벡터의 외적(corss product)의 계산을 빠르게 하기 위해 쓰입니다. 외적은 다음과같이 계산될 수 있습니다.

$C_{i}=sum_{jk}^3 epsilon_{ijk} A_{j} B_{k}$

이 식을 천천히 뜯어보도록 하겠습니다. 우선 i=1 일 때는 x축 성분값을 구할 수 있습니다. 그럼 j와 k는 2, 3 또는 3,2 가 되겠지요. 숫자가 서로 2,2 또는 3,3일 경우 입실론은 0이 됩니다. 그럼 계산은 다음처럼 됩니다.

$epsilon_{123}A_{2}B_{3}+epsilon_{132}A_{3}B_{2} 1cdot A_{2}B_{3}+(-1)cdot A_{3}B_{2} A_{2}B_{3} - A_{3}B_{2}$

마찬가지로 계산을 따라가면 다음과 같은 계산을 얻을 수 있습니다. 이는 외적의 계산과 똑같지요.

$hat x (A_{y}B_{z}-A_{z}B_{y}) + hat y (A_{x}B_{z}-A_{z}B_{x}) + hat z(A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x})$

이외에 응용으로는 다음과 같은 방법이 있으며 계산이 복잡한 문제를 푸는데 큰 도움을 줍니다.

$sum_{k} epsilon_{ijk}epsilon_{lmk}=(delta_{il}delta_{jm}-delta_{im}delta_{jl})$

이상입니다.

[이 게시물은 최고관리자님에 의해 2015-02-05 14:24:04 물리학 게시판에서 이동 됨]

김태욱2010-03-12 00:00

아.. 님 최고에염. 자료 감사합니다 ^^

이지훈2010-03-20 01:01

역학에서 쓰기도 하지만
그렇게 많이 쓰지는 않아염 ㅎㅎ

쓰기는 일반상대론에서 죽어라고 많이 쓰는데
거기서는 index가 3개가 아니라
4개로 늘어나는 Levi-civita를 볼 수 있습니다

조우성2010-03-21 23:23

네...ㅋ 역학에선 처음이랑 rigid body할 때 좀 나왔던 것 같고... 특별히 자주 본 적은 없는 것 같아요...ㅋ 학부에서 일반상대론을 느끼기가 어려워서 좀 아쉽습니다. 물론 느끼자면.... 롤러코스터를 안전바없이 타는 스릴도 느끼겠죠? ㅋㅋㅋㅋㅋ(난이도에서...ㅋㅋ)

유상욱2010-06-07 23:23

머리 터지겠다

김별명2016-06-03 13:47

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