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2계 도함수와 변곡점
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이제 미적분학에서 미분으로 할 수 있는 일이 거의 마무리가 되네요. 미분은 극한의 개념을 통해 함수의 한 점에서의 기울기를 구하는 일이었습니다. 복잡한 함수를 미분하는 방법도 찾았고 함수를 그래프로 그리는 방법도 알아보고 있습니다. 바로 2계 도함수가 그 작업의 마지막입니다.
물론 sin이나 cos같은 삼각함수, 지수함수, 로그함수 등 여러 특수한 함수에서의 미분은 다루지 않았습니다. 계산이 까다롭고 복잡하기 때문이죠. 하지만 극한을 통해 기울기를 구한다는 미분의 개념은 변하지 않습니다. 이 계산은 미분에 대한 기초 강의가 끝나는대로 해 볼 생각입니다. 단지 다항식(Polynomial, y와 x의 덧셈(또는 뺄셈)으로 이루어진 식)의 계산보다 조금 복잡할 뿐이니 너무 걱정하진 않으셔도 됩니다.
1. 위로 볼록, 아래로 볼록
이차함수의 모양은 두 가지가 있습니다. 사실 중고등학교를 다닐 때 신나게 들어본 말이지요. 위로볼록! 아래로 볼록! (어떤 분은 위로 오목! 이라는 표현도 하십니다. 그런데 전 헷갈리네요.ㅠ)
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옆의 함수는 y=x^2 입니다. 누구나 잘 아는 함수입니다. 이 함수를 우리는 아래로 볼록하다고 말을 합니다. 영어로는 Concave up이라고 표현하구요. 접선의 기울기가 계속 증가하는 함수입니다. |
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옆의 함수는 y=-x^2입니다. 우리는 이 함수를 위로 볼록하다고 말을 합니다. 영어로는 Concave down이라고 표현하구요. 접선의 기울기가 계속 감소하는 함수입니다. |
다 아는 이야기를 왜 하는지 궁금하시죠? 바로 2계 도함수의 특징이 잘 보이는 예이기 때문입니다. 우리는 사실 미적분을 위해 중, 고등학교 수학을 배웠을지도 모르겠다는 생각이 들 정도에요. 위의 두 함수를 미분해봅시다. 그것도 한번, 두번 모두 다 말입니다.
2계 도함수(2번 미분한 함수)가 숫자로 나왔네요. 너무나도 좋습니다. 간단하니까 말이지요. ^^ 지금부터 2계 도함수가 무슨 일을 해주는지 볼 것입니다.
어떤 함수를 2번 미분해서 얻은 2계 도함수가 있습니다. 이 함수가 양수인 구간에서는
1. 그래프의 모양이 y=x^2처럼 아래로 볼록하다.
2. 기울기가 계속 증가한다.
3. 극점이 최소값(Local minima point)을 갖는다.
라는 특징이 있습니다.
반대로 2계 도함수가 음수인 구간에서는 어떻게 될까요? 위와 반대가 될 것입니다.
1. 그래프의 모양이 y=-x^2처럼 위로 볼록하다.
2. 기울기가 계속 감소한다.
3. 극점이 최대값(Local maxima point)을 갖는다.
예제를 풀면 완전히 이해가 되실겁니다. 지금부터 y=x^3 그래프를 풀어보도록 하지요.
위의 그래프는 y=x^3 과 2계 도함수인 y=6x를 그린 것입니다. 보면 2계 도함수가 0보다 작은 구간과 0보다 큰 구간이 있습니다.
(-∞,0)인 구간에서 2계 도함수는 음수입니다. 따라서 y=x^3의 그래프는 이 구간에서 위로 볼록(concave down)이고 기울기는 계속 감소합니다.
(0, ∞)인 구간에서 2계 도함수는 양수입니다. 따라서 y=x^3의 그래프는 이 구간에서 아래로 볼록(concave up)이고 기울기는 다시 증가하게 됩니다.
2계 도함수를 이용하면 모르는 함수의 모양도 유추할 수 있습니다. 아주 강력한 도구이지요.
2. 변곡점(Point of Inflection)
변곡점은 바로 위에서 배운 함수의 모양(위로 볼록, 아래로 볼록)이 겹쳐지는 곳입니다. 이 점을 기준으로 위로 볼록인 그래프가 아래로 볼록인 모양으로 바뀌거나 이와 반대로 바뀝니다. 따라서 곡선의 모양이 바뀌는 지점이죠.
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변곡점(Point of Inflection) 함수의 그래프 접선을 가진 점 중에서 함수의 오목함(Concavity)이 바뀌는 점. |
변곡점은 그 성질이 접선을 가지고 있어야 하며 오목함이 바뀌어야 합니다. 따라서 2계 도함수의 부호가 바뀌는 지점이겠지요. 그렇다면
라는 생각을 하게 됩니다. 따라서 변곡점을 찾는 방법은 2계 도함수가 0인 점이 되겠네요.
하지만 주의할 것이 있습니다. 2계 도함수가 0인 점이 반드시 변곡점이 될 수는 없습니다. 이는 매우 중요한 것입니다. 변곡점의 성질이 2계 도함수가 0인 지점이라는 것이며 그 역은 성립하지 않습니다. 아래의 예를 보며 설명하겠습니다.
2계 도함수를 보니 x=0인 점에서 y’’값도 0이 되는군요. 그렇다면 x=0인 점이 변곡점이겠네요! 아 기쁩니다~ㅠ 이렇게 쉽게 찾다니… 그래서 y=x^4 그래프를 그려보았습니다. 하지만 x=0일 때 그래프의 오목함(Concavity)이 변하지 않네요. 여전히 아래로 볼록(Concave up)인 모습입니다. 그럼 변곡점이 없다는 이야기인데 말이죠.
바로 여기에서 함정을 찾을 수 있습니다. 변곡점의 성질은 2계 도함수가 0이라는 사실입니다. 하지만 2계 도함수가 0인 점이 변곡점이라는 것은 반드시 성립하지 않습니다. 꼭 주의하세요!
3. 극점을 찾는 2계 도함수
위에서 보았듯이 2계 도함수는 극점이 최대값을 가질 것인지 최소값을 가질 것인지를 말해줍니다. 이를 정리해보면 다음과 같습니다.
세 번째 내용이 좀 특이합니다. 바로 2계 도함수가 0인 지점이 y=x^4 그래프처럼 극점일 수도 있고 y=x^3처럼 변곡점일 수도 있습니다. 따라서 x=c인 점이 극점인지 변곡점인지 알 수 없기 때문에 2계 도함수의 변화를 추적해야 정확한 답을 낼 수 있습니다.
4. 그래프를 그려보자!
그래프를 그리는 방법을 모두 배웠습니다. 물론 분수함수(y=1/x)등의 함수는 점근선(Asymptote)이라는 개념까지 이용해서 그래프를 그려야 합니다. 이는 다음에 기회가 되면 번외로 설명을 드리겠습니다. 점근선을 찾는 힌트를 드리자면 극한의 개념을 사용한다는 것입니다. “x나 y가 무한대로 갈 때 함수가 어디로 점근할 것인가?”에 대한 답이 점근선이지요.
우리가 도전할 그래프는 다음과 같습니다.
한번 풀어보도록 하지요. 극점을 찾기 위해 도함수를 구합니다.
여기서 도함수가 0인 점은 x=2, x=1인 곳이네요. 이 두 점에서 극점이 생기리라 예상됩니다.
이제는 변곡점을 찾기 위해 2계 도함수를 계산합니다.
2계 도함수가 0이 되는 점은 x=2/3=1.5인 곳이군요. 하지만 이 점이 변곡점인지 아닌지는 알 수가 없습니다. 2계 도함수가 양수에서 음수로 변했는지 살펴봐야 정확합니다.
위의 그래프는 y=2x-3을 그린 것입니다. 자세히 보니 x가 1.5인 점을 기준으로 y의 부호가 바뀌고 있습니다. 이는 변곡점이라는 것을 의미합니다. 그럼 이제 그래프를 그릴 수 있겠네요.
아, 그래프는 x가 -∞때 y도 -∞이므로 3사분면에서부터 1사분면으로 진행하는 모양일 것입니다.
1. 우선 좌표평면에 극점을 표시합니다. 이 때의 극값은 x가 1과 2일 때 입니다.
2. 변곡점을 표시합니다. 변곡점은 x=1.5인 점입니다.
3. 이제 그래프를 그립니다. 여기서 중요한 것은 변곡점을 기준으로 그래프의 오목함이 바뀌어야 한다는 점입니다. x가 1.5보다 작을 때 2계 도함수가 0보다 작으므로 위로 볼록(y=-x^2)의 모양이 되겠네요. 1.5보다 큰 구간에서 반대로 아래로 볼록(y=x^2)인 모양일 것입니다.
4. 이제 그래프를 부드럽게 이어줍니다.
그럼 다음과 같이 그려지게 됩니다.
그래프의 모양을 더욱 자세히 그리기 위해서 정확한 비율이 맞지는 않습니다. 아무튼 극점과 변곡점을 찾아서 표시한 후에 곡선을 알맞게 이어주는 것이 중요하죠. ^^ 이렇게 그린 곡선을 컴퓨터로 그린 그래프와 비교해보면 거의 맞다는 것을 알게 됩니다. (단 비율은 제가 편한대로 그려서 이상하지요..ㅠ)
위의 그래프는 컴퓨터로 그린 것인데요. 그래프의 개형을 자세히 보기 위해 일부 영역을 확대하고 x축을 올려 그렸습니다. 따라서 그래프의 원점이 (0,0)이 아니라 (0, 6,6)인 것이죠. 그래프의 모습이 우리가 그린 것과 많이 비슷하죠?
이처럼 극점과 변곡점을 찾아 좌표에 표시하고 그래프를 부드럽게 이어주면 우리가 원하는 모습을 얻을 수 있습니다. 따라서 복잡한 그래프 역시 손쉽게 모양을 찾을 수 있습니다.
이제 미분으로 할 수 있는 기초작업은 다 했다고 생각합니다. 정말 놀라운 도구인 것 같죠? 단지 그래프의 기울기에서 출발한 도구가 이제는 모르는 함수의 개형까지 손쉽게 그릴 수 있도록 해주니 말입니다. 이는 여러 과학적인 문제를 해결하는데 직관적이고 올바른 답을 구하는데 도움을 줍니다.
다음에는 미분을 이용하여 물리문제와 몇 개의 최대, 최소문제를 풀어보도록 하겠습니다. 감사합니다.