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:namespace prefix = w ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:word" /> 증가함수 & 그래프 그리기 :namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> |
지금까지 우리는 미분이 무엇인지를 보았고 여러 규칙들을 통해 계산을 쉽고 빠르게 할 수 있다는 것도 알게 되었습니다. 미분법(5. 미분의 여러 규칙들)을 모르면 주어진 함수를 미분하는데 아주 시간이 오래 걸리거나 틀리기 쉽지요. 그 다음에는 최대, 최소값을 찾는 방법과 극값을 찾는 방법을 배웠습니다. 최대값이나 최소값을 구하려면 주어진 범위가 꼭 필요합니다. 하지만 극값은 도함수를 구한 뒤 도함수의 근을 구하여 이 값에 해당하는 원래의 함수값을 구해주면 됩니다.
(즉, f’(x2)=0일 때 x2는 극값을 가지므로 f(x2)가 x2점에서 극값이 됩니다.)
따라서 미분은 극값을 찾는데 중요한 역할을 한다는 사실을 알게 되었습니다. 그렇다면 이 극값을 기준으로 함수가 어떻게 움직이는 것일까요? 극값은 생긴 모습이 마치 낙타의 봉우리처럼 솟아있거나 빗살무늬 토기처럼 움푹 들어간 모양이라는 것을 알았습니다. 우리는 지금부터 찾은 극값을 중심으로 함수가 어떻게 움직일지를 알아볼 것입니다. 그럼 함수의 전체적인 모습도 그릴 수 있을 것 같네요. 지금부터 함수의 모양이 어떻게 생겼고 도함수에 따라 어떻게 변할 것인지 보도록 하겠습니다.
1. 증가함수와 감소함수(Increasing, Decreasing function)
우리가 만나는 함수 중 상수함수(ex : y=3)를 제외한 대부분의 함수는 증가하거나 감소합니다. 역시 그래프로 그림을 그리는 것이 가장 빠를 것 같습니다.
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Δ증가함수 Δ감소함수
왼쪽에 보이는 함수는 x가 증가할수록 y값도 커집니다. 오른쪽으로 갈수록 위로 올라가지요. 이런 함수를 증가함수라고 부릅니다. 말 그대로 x값에 따라 y값이 증가하기 때문입니다.
오른쪽에 보이는 함수는 x가 증가할수록 y값이 작아집니다. 오른쪽으로 갈수록 아래로 내려가네요. 이런 함수를 감소함수라고 부릅니다. 증가함수와 반대의 모양을 합니다.
수학기호를 사용하여 표시하면 다음과 같습니다.
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증가함수, 감소함수(Increasing Function, Decreasing Function) 만약 x1 < x2 일 때 f(x1) < f(x2)라면 f(x)는 증가함수이다. 만약 x1 < x2 일 때 f(x1) > f(x2)라면 f(x)는 감소함수이다.
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2. 도함수와 함수의 모양
도함수는 어떤 함수가 증가하는지 감소하는지를 판단하는데 아주 중요한 도구가 될 수 있습니다. 증가함수라면 x가 커질수록 f(x)값도 커지기 때문에 접선의 기울기가 양수가 됩니다. 결국 어떤 복잡한 함수의 도함수가 양수라면 (혹은 어느 구간에서 양수라면) 함수의 모양이 증가함수 꼴이라는 것을 파악할 수 있습니다. 반대로 감소함수에서는 접선의 기울기가 음수입니다.
아래의 그림을 보시면 참~ 쉽습니다. 흰색->노란색->빨간색->파란색 순서대로 보시면 되는데요. 어떤 함수를 미분하여 도함수를 구한 뒤에 좌표평면에 같이 그려줍니다. 그럼 도함수가 0보다 작은 영역에서는 원래 함수가 감소함수, 도함수가 0보다 큰 영역에선 증가함수임을 알 수 있습니다.
그렇다면 이런 함수는 어떨까요? 도함수를 구했는데 모든 지점에서 0보다 크거나 같을 때에는 원래의 함수가 계속 증가하는 모양이어야 합니다. 역시 계속 증가하는군요. 하지만 여기에는 변곡점(Concavity)이라는 점이 숨어있습니다. 이는 다음에 집중적으로 다룰 것입니다. 글이 길어지면 읽기 힘들 것 같아서요. ^^
2. 함수를 그래프로 그리기
사실 주어진 함수를 좌표평면에 그래프로 그린다는 것은 쉬운 일이 아닙니다. 컴퓨터를 이용하여 그리는 것이 가장 좋지만 매번 계산할 때마다 컴퓨터를 찾는 일이 번거롭지요. 하지만 미분을 이용하면 주어진 함수를 대략 그릴 수 있습니다. 직접 해보면서 그 방법을 알아봐요.
주어진 함수의 모양을 알기위해 도함수를 구합니다. 도함수를 구하면 위의 결과처럼 나오네요. 이제 도함수를 그려보고 어느 영역에서 함수가 증가하거나 감소하는지를 알아보겠습니다.
다행히 도함수는 우리가 쉽게 그릴 수 있는 2차함수입니다. 손쉽게 그리고보면 원래 함수가 -2와 2를 기준으로 증감이 바뀐다는 것을 알 수 있습니다.
그럼 이제 f(x)를 그려보겠습니다.
그래프를 그리는 방법은 다음과 같습니다. 우선 좌표평면(흰색)을 그려야겠죠? 그 다음에는 도함수가 0인 지점에서의 함수값을 구해줍니다. 이 값이 바로 극값이지요! 극값을 구하기 위해 오른쪽에 간단히 계산을 해보았습니다. 우리는 개형만 그리기 때문에 자세한 값은 계산하지 않았습니다. (그러나 뭐… 별로 어려운 계산은 아닙니다 ㅋㅋㅋ)
이제 극값을 좌표평면에 찍어줍니다. 위에서는 노란색 점으로 찍었습니다. 그리고 위에서 구한 증가함수, 감소함수 범위를 토대로 함수를 쭈욱~ 이어줍니다. 이 문제에서는 증가함수 -> 감소함수 -> 증가함수 순서대로 그리면 되네요. 참 주의할 점은 바로 y축에 걸치는 점입니다. x=0일 때 f(0)은 -5입니다. 단지 x=0을 대입하기만 하면되는 참 쉬운 문제입니다.
이렇게 하면 그래프의 모양을 그릴 수 있습니다. 여기서 질문이 하나 생기는데요. 바로 -∞에서 그래프를 그릴 때 x축 위에서 시작해야 할지 아래에서 시작해야 할지 모르겠다는 점입니다. 눈치가 빠른 독자라면 답을 벌써 알겠죠? 바로 극한을 이용하면 됩니다. 위의 함수의 경우에 -∞극한을 취하면 어떻게 될까요?
극한을 취해보면 x^3항이 다른 항에 비해 증가하는 속도가 매우 빠릅니다. 따라서 x가 클 때 x^3항에 따라 값의 부호가 바뀌겠군요. 여기에 -∞를 대입하면 역시 -∞가 나옵니다. 따라서 x축의 아래부분부터 그래프가 올라오게 그립니다.
보통 x의 홀수 제곱(x, x^3, x^5….)은 3사분면에서 1사분면으로 그래프가 움직입니다. 반대로 x의 짝수 제곱(x^2, x^4, x^6…)은 2사분면에서 1사분면으로 그래프가 움직이지요. 물론 가장 차수가 큰 항 앞에 부호가 바뀐다면 모양도 반대가 됩니다. (한번 예를 들어서 해보세요! 어렵지 않습니다.)
아무튼 우리가 그린 그래프가 잘 맞는지 컴퓨터와 비교해보겠습니다.
위에서 손으로 그린 그래프와 꽤 잘 맞습니다. 멋있네요.
이제 우리는 컴퓨터가 없이도 빠르게 도함수를 구한 후 원래 함수의 그래프를 대강 그릴 수 있게 되었습니다. 그래프를 그리면 최대, 최소문제를 풀거나 그래프의 해가 어디쯤에 존재하는지를 알아야 할 때 도움이 됩니다.
하지만 지금 배운 내용으로 해결되지 않는 문제가 있습니다. 이를 해결하려면 변곡점이라는 내용과 두번 미분한 도함수가 필요합니다. 다음 글에서는 이 내용들을 다루도록 하겠습니다.