롤의 정리와 평균값 정리 :namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />
보통 롤의 정리와 평균값 정리는 수학이나 물리학 등 여러 분야에서 쓰입니다. 하지만 자주 쓰이는 정리는 아닐뿐더러 보통 증명문제에서 만나기 때문에 자주 잊고 넘기게 되는 정리들이죠. 두 정리가 어떤 것인지 알아보도록 하겠습니다. 그리 어렵지는 않으니 걱정하지 않으셔도 됩니다. 실제로 고3 수학과정에 나오는 내용이니 쉽게 이해하실 수 있어요.
1. 롤의 정리(Rolle’s Theorem)
롤의 정리는 1691년에 미셸 롤이라는 사람이 증명한 내용입니다. 이 롤의 정리는 다음에 올 평균값 정리의 토대가 되기 때문에 중요합니다. 하지만 내용은 알고보면 정말 별 것도 아니죠.
|
롤의 정리(Rolle’s Theorem) y=f(x)라는 함수는 구간 [a, b]의 모든 점에서 연속이며 구간 (a,b)의 모든 점에서 미분이 가능하다. 이 때 f(a)=f(b) 이면 (a,b)안에 존재하는 최소한 하나의 점 c에서 f’(c)=0이다. |
이를 그림 (그림 1)으로 그려보면 다음과 같습니다.
:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" />
그림1) 롤의 정리
집에 있는 물칠판을 사용해보았습니다. 기존에는 메스메티카 5.0이라는 프로그램으로 함수를 일일히 정하여 그리고 MS워드2007에서 도형을 일일히 삽입하여 그렸는데요. 너무 힘들고 시간이 오래걸려서 고생스러웠습니다. 저의 사기도 많이 꺾이곤 했지요.ㅠ.ㅠ 그래서 집에 있는 칠판을 이용하여 그래프를 그리고 사진으로 찍어 올릴 생각입니다. 괜찮죠? ^^
아… 다시 본론으로 돌아와서 그래프를 봅시다. 임의의 그래프에서 노란색을 보시면 임의의 a와 b라는 점이 있습니다. 두 점 사이에는 보시는 것처럼 매끄럽고 미분이 가능하지요. 그렇다면 반드시 두 점사이에 하나 이상의 c라는 점 – 미분해서 0이 나오는 점, 극값 – 이 존재하게 됩니다. 그림으로 보니 당연하지요? 그림에선 하얀색 -> 노란색 -> 파란색 -> 빨간색 순서대로 따라가시면 이해가 엄청나게 쉽습니다.
증명도 어렵지 않으니 따라오시면 됩니다. 저번 글에서 최대, 최소정리를 살펴보도록 하겠습니다. 최대, 최소정리에서 함수의 범위가 [a, b]일 경우 반드시 최소값과 최대값을 가진다고 했습니다. 물론 함수는 연속적이어야 하지요. (그림2)
그림2)최대, 최소정리를 만족하는 그래프
우리는 여기에 함수가 미분도 가능해야 한다는 조건을 붙여볼 것입니다. 그래도 역시 최대값과 최소값은 존재하겠군요. 왜냐하면 최대, 최소정리에선 미분가능이나 미분 불가능이나 모두 최대값과 최소값을 가져야만 하기 때문입니다. (그림3)
그림3) 미분 불가능점이 없는 그래프
마지막으로 양 끝점인 a와 b가 같은 함수값을 갖는다고 조건을 줘야겠네요. 그럼 드디어 롤의 정리에 나온 가정이 모두 들어가게 됩니다. 바로 미분가능과 f(a)=f(b)라는 가정이죠. 이제 살펴봅시다. (그림4)
그림4) 롤의 정리에 나오는 가정을 만족시키는 그래프
지금도 그래프에는 최소값과 최대값이 있습니다. 아직도 최대, 최소정리의 영향력 아래에 있기 때문이죠. 하지만 양 끝점인 a와 b가 같아진 이상 이 두 점은 최대값 혹은 최소값을 가져야만 합니다. 마치 줄넘기를 할 때의 줄 모양처럼요. 그럼 다른 한 점에서 양 끝점에서 가지지 못했던 최소값 혹은 최대값을 무조건 가져야 하겠죠? 그래야 최대, 최소정리를 만족할 수 있기 때문입니다. 그림을 그려보니 이해가 더 쉽네요. 이정도로 증명같지 않은 증명이 되었습니다. 당연히 가질 수 밖에 없다는걸 이해하면 그것이 증명이지요. 꼭 복잡한 수학이 나와야 증명은 아닐겁니다. ^^
2. 평균값 정리(The Mean Value Theorem)
이제 롤의 정리를 써먹을 때가 왔습니다. 바로 평균값 정리를 증명하기 위해서인데요. 평균값 정리는 롤의 정리가 기울어졌다고 생각하시면 됩니다. 롤의 정리와 마찬가지로 평균값 정리 역시 문제를 푸는데 별로 쓸 일이 없습니다. 하지만 어떤 수학적인 증명을 할 때 쓰기도 하고 물리문제를 풀 때 도움이 되기도 합니다. 자 지금부터 한번 살펴보도록 하지요.
그림5)평균값 정리
칠판에 그리는 것도 꽤나 노동이군요. 학교에 계신 과학선생님이 칠판에 생물의 구조를 섬세하게 그려내시는걸 보면 정말 선생님보다 예술인으로 보일 때가 많이 있었습니다. 이제서야 선생님의 고통과 인내를 이해할 것 같네요. 그래서 위키피디아에서 그림 하나를 슬쩍 떼어왔습니다. 딱 보니 롤의 정리 그림을 기울여놓은 것뿐이지요? 평균값 정리를 정확히 쓰면 다음과 같습니다.
|
평균값 정리(The Mean Value Theorem) (y=f(x))라는 함수는 구간 [a,b]의 모든 점에서 연속이며 구간 (a,b)의 모든 점에서 미분이 가능하다. 그러면 주어진 구간에서 다음을 만족하는 점 c가 존재해야 한다.
|
간단히 말하면 평균 기울기의 크기를 갖는 순간 기울기가 주어진 구간에서 반드시 존재해야 한다는 이야기입니다. 별로 어렵지 않지요?
물리적인 이야기를 하나 해보도록 하겠습니다. 어떤 자동차가 평균 100km 속도로 운동을 했다고 합시다. 100km라는 구간을 1시간에 도착하는 어마어마한 속도지요. 하지만 이 속도는 평균속도입니다. 1시간동안 100km를 달린 속도일 뿐 20분 째의 속도가 어떠했는지는 알려주지 않지요. 하지만 평균값의 정리에 의하면 적어도 1번 이상 자동차는 100km라는 순간속도로 도로를 달렸다는 것이 분명합니다. 그 때가 달린지 20분이 지났을 때인지 45분 째인지는 알 수 없지만 말이지요. 별로 어렵지도 않고 복잡하지도 않죠?
다음은 평균값 정리의 증명입니다. 이해가 안되시면 넘어가셔도 전혀 상관이 없으니 그냥 지나가셔도 좋습니다.
우선 f라는 함수의 연속과 미분가능을 정의해줍니다. 그 다음 F(x)라는 함수를 정의합니다. 이 함수는 f(x)에서 어떤 함수를 뺀 형태인데요. 어떤 함수란 a와 b점을 잇는 직선의 방정식을 이야기합니다. F(x)에서 x대신 a를 넣으면 f(a)-f(a)-0이 되어 F(a)=0이 됩니다. 마찬가지로 x에 b를 넣어도 f(b)-f(a)-{f(b)-f(a)}가 되어 F(b)=0이 됩니다. 따라서 롤의 정리를 만족시키지요. (위의 색깔 화살표는 이리저리 표시한건데 오히려 정신이 없네요… 이해해주시고 잘 보시면 도움이 되실지도 모르겠습니다.ㅠ) 이제부터 F(x)를 미분합니다. 롤의 정리를 이용하기 위해서지요. 미분한 후 x=c를 대입합니다. 여기서 c는 롤의 정리에서 나온 c와 같습니다.
그럼 평균값의 정리와 같은 모양이 나오게 됩니다. 이렇게 증명이 완료됩니다.
3. 코시의 평균값 정리
이제 평균값 정리를 확장시켜 보겠습니다. 이는 코시의 평균값 정리라고도 불립니다. 평균값 정리의 일반적인 형태라고 보시면 되는데요. 코시의 평균값 정리는 다음과 같습니다.
|
코시의 평균값 정리(Cauchy’s Mean Value Theorem, Extended Mean value Theorem) f(x)와 g(x)라는 함수는 구간 [a,b]의 모든 점에서 연속이며 구간 (a,b)의 모든 점에서 미분이 가능하다. 그러면 주어진 구간에서 다음을 만족하는 점 c가 존재해야 한다. |
위에서 소개된 평균값 정리는 바로 g(x)=x인 녀석입니다. 코시의 평균값 정리는 나중에 로피탈의 정리를 증명할 때 아주 요긴하게 쓰입니다. 또한 임의의 함수를 x에 관한 함수들의 조합으로 바꾸어주는 테일러 전개의 증명으로도 쓸 수 있습니다. 테일러 전개는 sin이나 cos같은 삼각함수들도 x로 이루어진 함수들의 조합처럼 풀 수 있다는 것을 보여주지요. 이를 이용하면 물리문제에서 근사계산을 하는데 아주 훌륭한 도움을 얻을 수 있습니다.
이것으로 최대, 최소값에서 더 나아간 강의 – 롤의 정리, 평균값 정리 – 를 마치겠습니다. 자세한 증명은 위키피디아(www.wikipedia.org)에서 만나실 수 있습니다. 하지만 수학적인 증명을 잘 모르더라도 이들이 어떻게 생겼고 어디에 쓸 수 있는지를 안다면 그걸로도 충분하다고 생각합니다. 다음에는 곡선의 오목한 상태와 변곡점에 대해서 알아보겠습니다. 변곡점까지 알게되면 주어진 함수를 열심히 미분하여 함수의 대략적인 모양을 스케치할 수 있습니다. 이건 내용이 많아서 하루만에 쓰기 힘들 것 같네요..ㅠ
업데이트가 한동안 없어서 정말 죄송합니다. 그동안 여러 기술적인 이유들 때문에 기가 다 빠져버려서 글쓰는 것을 포기하고 있었거든요. 그러나 앞으로는 열심히 칠판에 그려서 복잡한 증명이나 수식을 해결할 생각입니다. 그럼 너무일이 편해지거든요..ㅋ 많은 관심에 진심으로 감사드리고 한동안 글을 쓰지 않은 점 죄송하다는 말씀을 드리고 싶습니다. 다음 글에서 뵙겠습니다~
[이 게시물은 최고관리자님에 의해 2012-12-20 12:42:03 소설같은 미적분학에서 이동 됨] [이 게시물은 최고관리자님에 의해 2015-02-05 14:24:04 물리학 게시판에서 이동 됨]