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행성운동에 대한 케플러의 제 3 법칙은 태양으로부터 행성의 평균거리의 세제곱은 궤도주기의 제곱에 정비례함을 설명한다. 뉴턴은 그의 중력법칙이 케플러의 법칙들을 설명할 수 있음을 알았다. 뉴턴의 중력법칙이 질량을 가진 어떤 물체에도 적용됨에 따라 케플러의 법칙도 다른 천체 주위를 돌고 있는 어떤 천체에도 적용될 수 있다. 행성 주변을 공전하고 있는 위성의 예를 들어 보자.
만일 어떤 행성주변에 두 개의 다른 위성이 공전하고 있는 경우 각각의 위성을 #1 과 #2 라 하자. 케플러의 법칙은,
한 행성주위를 공전하는 위성의 궤도 주기를 알면 우리는 그 행성을 공전하는 어떤 위성에 대해서도 그 위성들의 궤도 주기를 알 수 있다. 케플러의 제 3법칙은 아래에 명시된 것 처럼 단순화시킬 수 있다.
또는
#1의 주기 = #2의 주기× Sqrt[(#1까지 거리 / #2까지 거리 )3/2].
공학용 계산기를 가진 사람들에게는 두 번째 공식이 계산에 더 유용할 것이다. 루트의 제곱승을 계산하는 것은 계산기가 없는 한 그리 단순한 수학이 아니기 때문이다.
만일 그 위성이 태양을 공전한다면 우리는 이 방정식을 간단한 단위들을 사용하여 더욱 단순화 할 수 있다. : 궤도 주기에는 '년'을 , 거리에는 천문단위 AU를 사용하면 된다. 이런 경우 그 지표인 위성은 지구가 되고 케플러의 제 3법칙은 주기=(거리)^3/2가 된다. 이것을 태양계 탐험에 걸리는 시간을 알아보는 데 한번 응용해 보자.
행성간 여행
행성들 사이를 여행하는 가장 간단한 방법은 태양의 중력과 궤도운동에 대한 케플러의 법칙들을 이용하는 것이다. 여행을 위한 효과적인 연료는 우주선을 태양 주위의 지구궤도에 두고 그 궤도의 한 점을 출발지로 한 뒤 바로 정반대편 행성의 궤도의 한 점을 도착지로 하는 것이다. 이 궤도들은 궤도 천이/전환의 이론을 발전시킨 호멘의 이름을 따서 호멘(Hohmann)궤도라 일컫는다. 이 우주선은 여행의 초기점에서는 탈출을 위한 가속도가, 나중 궤도에 착지를 위해서는 감속이 필요하다.
그럼 화성으로 여행을 해볼까?
지구에 대한 화성의 상대적 위치는 반드시 지구 궤도상의 출발지의 오른쪽이어야 한다. 그럼 우주선이 수 개월 후 화성의 궤도에
도착했을 때 화성은 우주선의 오른쪽에 위치하게 된다.
이 이상적인 위치의 형성은 780일에 한 번씩 일어나게 된다.
우주선은 반드시 '발사창(launch window)" 이라 불리는 시간 구간 안에서 발사되어야 하며, 이것은 우주선의 여행에
필요한 호멘 궤도를 이용하는데 걸리는 시간이다.
지구는 우주선 궤도의 근일점(태양에 가장 가까운 위치-1.0A.U.)에 있고, 화성은 원일점(태양에서 가장 먼 위치-1.5A.U.)에 위치하고 있다.
케플러의 세번째 법칙은 궤도의 반장축(타원 궤도의 긴반지름)과 항성의 궤도주기를 연결시키는 법칙이다. 여기서 장축(major axis)은 타원궤도(근일점에서 원일점까지)의 긴 축의 총 길이이다. 화성의 경우 장축의 길이는 1.52+1.0=2.52A.U.이다. 그러므로 반장축은 장축의 반(1/2)에 해당하는 길이인 셈이다.
우리는 반장축의 길이를 알고 있으므로 케플러의 제3법칙으로부터 이 우주선의 궤도 주기는 1.263/2=1.41년임을 알 수있는 것이다. 그런데 이 주기는 궤도 전체(지구에서 화성 그리고 다시 지구까지)에 대한 총 주기이므로 우리가 알고자 지구에서 화성까지가는데 시간은 1.41/2 년 =0.71 년 = 8.5개월이 된다.
우주선이 발사되었을 때, 그것은 이미 지구의 궤도 속도인 30km/s를 가지고 있다. 이것은 태양으로부터 1.0A.U.거리에서 태양주위를 공전하는 행성의 원궤도 속도이므로 우주선 속도의 감속은 태양에 근접할수록 그것을 태양 쪽으로 기울게 하고 호멘의 궤도는 지구 궤도 내부로 들어가게 될 것이다. 우리가 원하는 우주선의 궤도는 지구궤도 보다 더 위 쪽에 있어야 하므로 우주선은 지구궤도 외부로 그 궤도를 변환시킬 수 있을 만큼 속도를 증가시켜야만 한다. 그리고 원일점에 가까울수록 점점 속도를 줄여나갈 것이다.
원일점에서 이 우주선은 화성 위치인 1.52A.U.에서 원궤도를 그릴 만한 속도로 움직이지는 않을 것이다. 과거에 화성이 그렇했을 것처럼 이 우주선도 정확히 그러나 조심스럽게 원일점에 도착해야 하기 때문이다.그래야 화성이 이 우주선을 잡아당길 것이다. 즉, 이 우주선은 화성궤도에 잡히기에는 너무나 큰 속력으로 질주하고 있으므로 화성 주변에 가까울수록 속도를 줄여 결국 화성주위를 돌게 된다.
화성까지 가는 동안 태양으로부터 이 우주선까지의 거리는 올바른 궤도에 착지여부에 따라 계속적으로 주시를 받는다. 비록 이 우주선이 태양의 중력에 영향은 받지만 역시 다른 아홉개의 행성들의 중력도 화성을 향한 이것의 경로에 영향을 준다. 따라서 우주선에 장착된 자세 제어 로켓이 이 우주선을 정확한 경로로 가도록 이용되기도 한다.
천문용어
원일점(aphelion) 근일점(perihelion )공식
- 케플러 제 3법칙: #1의 주기 = #2의 주기 × Sqrt[( #1까지 평균거리/ #2까지 평균거리)3]
- 케플러 제 3법칙: #1의 주기 = #2의 주기 × (#1까지 평균거리 /#2까지 평균거리)3/2
- 태양주변을 공전하는 천체의 경우 궤도의 주기는 '년' 단위로 , 거리는 A.U.로 하면 케플러의 제3법칙은 단순하게 주기 =평균거리 3/2이다.
연습 문제
- 목성의 달인 이오의 관측으로 부터 우리는 목성의 위성인 유로파의 궤도주기를 어떻게 예측할 수 있을까?
- 만일 이오가 목성으로부터 422,000 km거리에서 목성을 도는데 1.8일이 걸린다면, 671,000km의 유로파는 목성을 도는데 얼마의 시간이 소요되겠는가?
- 만일 달이 지구로부터 현재 거리의 두 배나 먼 곳에 있다면 일식이 진행되는데 걸리는 시간은? (최근에 일어난 일식의 경우, 달이 더 이상 태양을 가리지 않을 때까지 걸린 시간은 약 2 시간 이었다.)
- 허블 우주 망원경은 지표면으로 부터 220km 위에서 1.5시간의 주기로 지구를 돌고 있다. 통신 위성이 지구궤도를 24시간의 주기로 돌려면 지표면으로부터 얼마나 높이 떠 있어야 할까?
- 왜 NASA는 행성들이 반대의 위치(지구에 가장 가까울 때)에 있을때 행성간 우주선을 발사하지 않을까?
- 케시니(Cassini) 우주선이 태양에서 9.5A.U.거리의 토성을 여행하는 데 걸리는 시간을 계산하라.