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지금부터는 뉴턴의 운동및 중력법칙에 대해 천문학적 관점에서 이야기 하고자 한다. : 즉, 다른 물체 주변을 돌고 있는 천체들에 관해서. 우리는 천체들이 다른 천체 주변을 궤도 운동하는 것을 관측하면서 어떤 특징들을 찾아낼 수 있을까?
구심력(Centripetal Force)
뉴턴의 운동법칙의 기본개념은 물체에 다른 외부력이 작용하지 않는한 물체는 한 속도나 방향의 변화로부터 물체는 관성을 유지한다는 것이다. 이것은 즉, 지구를 선회하고 있는 인공위성의 경우, 그것의 방향이 항상 지구중심을 향하도록 하는 어떤 힘이 작용한다는 것을 의미한다.
따라서, 만일 인공위성에 어떤 외력도 작용하지 않는다면 , 그것은 그 자체의 관성에 의해 일정한 속도로 직선운동을 행하게 되어있다.
당신이 당신의 머리 위로 공을 돌리고 있다고 생각해 보자. 그것은 당신의 머리 둘레를 원궤도를 그리며 운동할 것이다. 그것은 공을 묶고 있는 줄이 줄을 잡고 있는 손의 방향으로 계속 공을 잡아당기고 있기 때문이다. 공은 관성에 의해 계속적으로 직선운동을 하려고 하나 그 공과 연결된 줄이 공을 안 쪽으로 잡아당긴다는 것이다. 여기서 생겨나는 방향은 결국 이 두 방향의 적합한 "타협의 결과"인 셈이다: 원궤도
운동을 하는 공을 잡아당기는 줄은 공을 향해 구심력(Centripetal Force)을 제공한다: 안쪽으로 향하는 힘. 따라서 만일 당신이 그냥 줄을 놓아버리면 공은 어떻게 되겠는가? 결국 아무런 제약 없이 그냥 그자체의 관성만으로 직선을 그리며 확 날아가버리고 말 것이다.
이번에는 당신이 그 공에 충분한 속력을 가하지 않고 돌리고 있다고 생각해보자. 그것은 아마도 당신 주변을 좀 더 작아진 크기의 운동 경로로 비구형(non-circular ) 운동을 할 것이다. 또 너무 빠른 속도로 뱅뱅 돌리는 경우 , 당신은 그 공이 당신 머리위를 계속적으로 선회할 수 있을 만한 충분한 구심력을 제공할 수가 없게 될 것이다. 구심력 크기는 물체의 관성과 조화를 이룰 수 있어야 하고, 뉴턴의 제 2법칙에서 알려진 반경r인 원형 궤도를 유지할 만한 양이어야한다:
구심력 = m v2 / r이고 , m과 v는 각 각 그 물체의 질량과 속도이고 , 궤도 반경 r은 운동하는 물체와 중심체 사이의 거리이다.
행성과 별의 질량 결정
지금부터는 궤도에 대하여!!인공위성의 방향은 단순히 좀 전에 예로 든 것처럼 줄에 의해 변하는 것이 아니라 중력에 의해 변한다. 중력은 인공위성이 그 궤도 내에서 계속 운동할 수 있는 구심력을 제공한다. 원궤도를 그리며 운동하는 단순한 경우에 초점을 맞추어 우리는 위의 구심력의 공식과 중력법칙을 이용해서 행성이나 항성(별)들의 질량을 결정할 수 있다. 단순하게 중력과 구심력이 같다고 하는 방정식을 세워 질량 m에 대해 풀어주면 우리는 행성이나 항성의 질량을 구할 수있다.
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= |
| . |
| M | = |
| |||||||
| M | = |
| . |
이것은 위성체의 질량이 중심의 물체에 비교도 안 될 정도의 매우 작은 질량을 가정한 경우 성립이 된다. 따라서 우리는 여기서 인공위성에 대한 중심체의 가속도를 무시할 수 있다.
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어떻게 할 수 있을까?이 결과를 태양의 질량 결정에 한 번 사용하여 보자. 여기서 우리는 반경과 속도가 알려진 태양 주변을 선회하는 물체를 알고 있다고 하자. 이 물체가 지구인 경우, 지구의 궤도 반경은 약 1.5 × 1011m이고 회전 속도는 30 km/s이다. 거리는 속도와 단위를 맞추기 위해 m단위를 사용했다. 또한 우리가 계산에 필요한 중력상수 G의 단위가 m이므로 우리는 앞으로도 단위를 m로 사용해야한다. 이는 기우같지만 우리는 어떤 계산을 수행할 때 사소한 단위의 문제로 인해 잘못된 답을 유도할 수도 있기 때문이다.알려진 수치들을 질량 관계식에 집어넣어라. 그럼 태양의 질량 = (30,000)2 × (1.5 × 1011)/(6.7 × 10-11) = 2 × 1030kg 이 된다. 이 값은 지구의 질량보다 훨씬 크다. 따라서 우리는 지구에 대한 태양의 운동을 무시할 수 있다. 근사값을 사용하지 않으면 실제로 더 정확한 결론에 이르게 된다. 이 값은 태양을 공전하고 있는 어떤 행성에 대해서도 같게 나타난다. |
이러한 관계는 우리에게 행성이나 항성의 질량을 재는 데 필요한 요소들을 알려준다 :위성의 궤도속도, 중심의 행성이나 항성으로 부터의 거리. 위의 방정식에서도 알 수 있듯이 중심체의 질량이 크면 클수록 위성의 속도는 더욱 빨라진다. 같은 거리에서는 거대 질량체가 그보다 작은 질량을 가진 물체보다 더 큰 중력을 가질 것이다. 그러므로 더 큰 질량을 가진 행성이 그것의 주위를 돌고 있는 위성에 궤도 안쪽으로 더 큰 가속력을 주고 , 당연히 그 위성은 더 큰 속도로 돌 것이다.
때로는 궤도 주기 P를 궤도속도 대신 측정할 수 있다. 궤도주기는 천체가 그것의 궤도의 원주를 한 바퀴 도는 데 소요되는 시간이다. 속도는 운동한 거리/시간이므로 속도 v = "궤도의 원주/궤도주기"이다. 이것은 위의 질량방정식에 대응하면 우리는 아래의 결과를 얻을 수 있다.
| M = |
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이것은 좀 낯이 익은 형태의 방정식이다. ---이것이 바로 케플러의 제 3법칙인 것이다! 거리의 3승과 궤도주기의 제곱승, 그리고 몇 몇의 상수들. 뉴튼은 케플러가 그의 3법칙을 만들기 위해 행성의 운동을 응용했을때 그가 실제로 태양의 질량을 쟀음을 발견한 것이다. 여기서 만일 우리가 좀더 편리한 단위, 즉 거리에는 천문단위, 시간에는 년 , 질량에는 태양질량(태양질량을 1이라 간주한 경우 상대적 질량)을 사용하면 위 식의 상수부분은 단순히 1이 된다. 즉, 태양주위를 돌고 있는 행성들에 대해 질량 방정식은 케플러가 정리한 것과 같이 1 = r3 / P2, 또는 r3 = P2이 된다.
궤도 속도
위의 질량방정식은 같은 거리에서도 중심에 더 큰 질량을 가진 천체가 있는 위성일수록 더 빠른 속도 로 회전함을 보여준다. 큰 질량을 가진 천체는 그 보다 작은 질량을 가진 천체 보다 더 큰 중력을 가지므로 만일 두 천체가 위성으로 부터 같은 거리에 있다 하더라도 더 큰 질량을 가진 천체는 위성을 더 크게 가속시킬수 있다. 강한 중력을 가진 거대 질량체와 균형을 이루기위해 위성은 그 보다 작은 질량은 가진 천체를 돌 때보다 훨씬 빠른 속도로 돌아야한다. 이것은 물론 항성 둘레를 회전하고 있는 행성들이나 또는 다른 항성을 돌고 있는 항성들에게도 적용된다. 질량 함수에서 궤도 속도 v값을 얻고자 할 때, 우리는 안쪽으로 잡아당기는 중력과 균형을 유지하기 위해 물체가 얼마나 빨리 돌아야하는가를 알 수 있어야한다.
어떻게 할 수 있을까?태양을 둘레를 돌고 있는 목성의 궤도속도를 구하라. 목성의 궤도 반경은 5.2 A.U.또는 7.8×1011 미터이고 태양의 질량은 2×10^30 kg이다. 그러므로 목성의 궤도속도 v= Sqrt[6.7×10-11 × (2×1030)/(7.8×1011)] = Sqrt[1.718×108] = 1.3×104 m/s, 또는 13 km/s이다. 생각해 보라. 태양으로부터 5.2A.U.거리에 있는, 목성보다 수 백만배나 작은 질량을 가진 트로이 소행성들 중 하나의 질량을 잴 수 있겠는가? |
탈출 속도
거대 중력체에 속박된 상태의 물체가 그 중력을 이겨낼 정도의 빠른 속도로 움직인다면 그 물체는 그 중력장으로부터 벗어날 수 있다. 그러기 위해 필요한 한계속도를 우리는 "탈출속도"라고 한다. 좀 더 확실히 말하자면, 이 속도는 중력장으로부터 이 물체의 탈출에 필요한 '초기속도'를 의미하며 , 초기에 쏘아진 (initial boost)후에는 중력 이외의 어떤 외력도 이 물체에 작용하지 않았음을 간주한다. 지구에서 쏘아 올려지는 로켓의 경우, 처음에는 탈출속도를 가지지 아니하나 엔진이 추력을 제공하여 결국 지구를 탈출할 수 있는 것이다. 이 탈출속도의 개념은 중력적으로 무언가를 잡아당기는 물체들에 적용된다. (행성대기에 있는 가스입자들, 태양주변을 돌고 있는 혜성, 블랙홀로부터 탈출하려고 하는 빛, 다른 은하주변을 돌고있는 은하들 등..)
우리는 뉴턴의 운동법칙과 중력법칙으로부터 이 탈출속도(Vesc )를 구할 수 있으며 이는 궤도속도의 공식과 비슷하다.
이것은 원궤도속도의 Sqrt[2]배이며 공식에 나타나듯이 질량 M이 클수록 이 탈출속도는 더 커져야만 한다. 또한 이 물체로부터 중력체까지의 거리가 멀수록 탈출속도는 작아진다. 중력은 거리가 멀어질수록 약해진다. 그러므로 먼 거리에서 중력체를 돌고 있는 물체는 가까이서 돌고 있는 물체보다 빠른 속도로 돌 필요가 없다.
어떻게 할 수 있을까?지구표면으로부터의 탈출속도를 구하라. 중력가속도를 이용하라. 지구의 질량은 6.0×1024 kg이고 지구반경은 6.4×106 m이다. 질량과 거리는 모두 기준단위를 사용하므로 탈출속도공식에 위값들을 집어 넣기만 하면 된다.그러면, 지표면 탈출속도는 Sqrt[2× (6.7×10-11) × (6.0×1024)/ (6.4×106)] = Sqrt[1.256×108] = 1.1×104 m/s (= 11 km/s 가 된다. 달표면에서의 탈출속도는 2.4 km/s이고 , 목성은 59.6 km/s 그리고 태양표면에서는 618 km/s 임을 계산할 수도 있다. |
천문용어
구심력(centripetal force ) 탈출속도(escape velocity)공식
1. 중심체의 질량 =(궤도속도)2 × 거리)/G.2. 케플러 제 3법칙으로부터 중심체의 질량 = (4π2)/G × [(거리)3/(궤도속도)2
3. 궤도속도= Sqrt[G ×질량 /거리]
4. 탈출속도= Sqrt[2G ×질량 / 거리]
연습문제
- 위성이 그 궤도를 계속적으로 운동하게 하는 것은 무엇인가?
- 행성이나 항성의 질량을 계산할 때 가장 먼저 알아야하는 두 가지 요소는 무엇인가?
- 목성의 위성인 이오는 지구와 달 사이와 같은 거리에서 달의 질량을 가지고 목성주변을 돌고 있다. 그러면 왜 달이 지구를 공전하는 데 27.3일이나 걸리는데 이오는 단지 1.8일만이 소요되는가?
- 천문학자들은 갈릴레이 시대이래로 목성주변 위성들의 공전주기를 정확하게 계산할 수가 있었다. 그러면 왜 천문단위가 정확히 알려지기전 300년이상이나 목성의 정확한 질량을 알 수가 없었을까?
- 거대질량을 가진 중심체로부터 3AU거리에서 공전하고 있는 행성과 그보다 작은 질량을 가진 중심체 주위를 같은 거리에서 돌고 있는 행성중 어느 것이 더 짧은 공전주기를 가지겠는가? 정답을 서술하라.
- 만일 큰 질량을 가진 천체 주변을 도는 행성이 그 보다 작은 질량을 가진 천체를 도는 행성과 같은 공전 주기를 가진다면 어떤 행성이 각자의 중심체로부터 더 먼 거리에 있겠는가? 정답을 서술하라.
- 탈출속도를 결정하는 두 가지 요소는 ?
- 토성은 지구의 95배의 질량을 가지고 있음에도 불구하고 지구의 대기에서 보다 토성의 대기에서의 탈출속도가 더 작은 이유는 무엇인가?
- 목성대기에서의 탈출속도는 지표면에서의 탈출속도보다 두 배나 더 크다고 한다. 지구보다 목성의 반경이 훨씬 더 큼에도 불고하고 왜 그런 결과가 야기되는가?