극한에 이어 연속성에 대해 알아보겠습니다. 연속성이란 무엇일까요? 말 그대로 어떤 것이 연속적으로 이어져있다는 성질을 나타냅니다. 우리는 미분을 위해 함수에서의 연속성을 알아볼 것입니다.

1. 함수의 연속성 정의

함수의 연속성은 무엇을 나타낼까요? 말 그대로 함수가 연속적으로 이어져있다는 것을 나타내는 것입니다. 그래프를 그려보면 쉽게 알 수 있겠죠?

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위의 그림은 이차함수를 그래프로 나타낸 것입니다. 보면 함수가 끊어짐이 없이 연속적이라는 것을 알 수 있죠. 이렇게 그래프를 그렸을 때 끊어짐 없이 연속적인 함수들을 ‘연속성을 갖는다’라고 말을 합니다.

 위의 함수들은 어떨까요? 가장 왼쪽에 있는 함수는 y=1/x 꼴의 함수입니다. 이 경우에는 x=0일 때 함수가 이어져있지 않습니다. 그렇기 때문에 연속이 아니지요. 가운데 함수는 y=|x| 꼴의 절대값 함수입니다. 이 경우 x=0에서 함수가 뾰족하지만 이어져있기 때문에 연속성을 가지고 있습니다. 가장 오른쪽의 함수는  의 함수입니다. 이 경우 x=0일 때 함수값을 정의할 수 없습니다. X가 0이 될 수 없기 때문이죠. 따라서 x=0일 때 함수가 이어지지 않으므로 불연속입니다.

 그래프를 그려보면 쉽죠? 함수의 연속은 미분과 아주 밀접한 관계가 있습니다. 어떤 함수가 x=a라는 점(혹은 임의의 구간)에서 미분이 가능하다면 그 점(혹은 구간)에서는 반드시 연속이기 때문입니다. 이는 수학이나 물리학에서 중요한 개념이 됩니다. 이 명제의 대우 즉, ‘연속이 아니면 반드시 미분이 불가능하다’ 역시 성립합니다. 따라서 어떤 그래프의 불연속점이 존재한다면 그 점에서는 미분이 반드시 불가능하게 됩니다.

수학자들은 이런 연속성을 “그래프가 이어져있다”라는 말을 대신할 수학적인 정의를 만들어놓았습니다. 이런 수학적인 정의가 없다면 모든 함수의 연속성을 판단할 때마다 그래프를 다 그려봐야 하겠죠? 연속성의 정의는 코시(Cauchy) 방법과 하이네(Heine)방법이 있습니다. 코시방법은 입실론-델타 방법을 사용하기 때문에 극한의 정의만큼이나 복잡합니다. 따라서 직관적이고 쉬운 하이네 방법만 다루겠습니다. 위키피디아(www.wikipedia.org)에서 함수의 연속성을 검색하면 코시의 방법도 소개가 되어있습니다.

즉, 임의의 함수에서 x=a 일 때 함수값이 존재하며 이 때의 극한값도 존재해야 합니다. 또한 함수값과 극한값이 같아야합니다. 이 세가지 조건을 모두 만족해야 비로소 연속성을 지닌다고 말을 할 수 있습니다. 위에 있는 세 그래프 중에서 첫번째 그래프(분수함수 꼴)의 경우 x=0에서 함수값을 정의할 수 없습니다. 무한대이니까요. 또한 좌극한과 우극한이 다르기 때문에 극한값 역시 존재하지 않습니다. 세번째 그래프 역시 극한값과 함수값 모두 정의할 수 없기 때문에 연속의 조건을 만족시키지 못합니다.

2. 연속함수의 성질

연속함수는 극한의 경우와 마찬가지로 여러 일반적인 성질을 가지고 있습니다. 연속함수끼리 더하고 빼고 곱하고 루트를 씌우고 나누어도 연속함수가 되기 때문이지요. 단, 연속함수끼리 나눌 때에는 분모함수의 함수값이 0을 가지는 지점에서 연속이 아니라는걸 주의하셔야 합니다.

또한 다항식(Polynomial Function)으로 이루어진 함수(x로 이루어진 함수)의 경우 모두 연속함수가 됩니다. 이유는 간단합니다. y=x 라는 함수가 연속이기 때문에 x라는 함수를 곱해도 연속함수, 더해도 연속함수, 상수를 곱해도 연속함수가 됩니다. 따라서  꼴의 모든 다항식 함수는 연속함수입니다. 그렇기 때문에 다항식으로 이루어진 함수의 경우 마음놓고 미분을 하기도 합니다..-.-ㅋ

 3. 최대, 최소정리와 중간값정리(Intermediate Value Theorem)

연속함수에는 수학적으로 중요한 정리(Theorem)이 있습니다. 바로 최대, 최소정리와 중간값정리입니다. 중간값정리는 다른 수학적으로 중요한 정리를 유도하거나 방정식이 근을 가짐을 보이는데 쓰입니다.

 말이 매우 어렵습니다.. 한국말이 이렇게 어렵게 느껴질 때가…ㅠ

이제부터 차근차근 알아보도록 합시다. 우선 최대, 최소정리부터 보도록 하죠. 참, 여기서 앞으로도 계속 쓸 표현법이 등장합니다. [a,b]라는 표현인데요. 이는 a≤x≤b 를 뜻합니다. (a,b)는 a를 뜻하죠. [a,b)의 경우에는 a≤x라는 뜻입니다.

우선 최대,최소정리부터 알아봅시다.

위의 그래프에서 보면 폐구간에 대해 반드시 최대값과 최소값을 가짐을 알 수 있습니다. 최대값 M과 최소값 m은 x=a 혹은 x=b인 점일 수도 있지요.

옆의 그래프에서 만약 x가 폐구간이 아니라면 x=a라는 점이 구간에 포함되지 않기 때문에 최소값을 구할 수 없습니다. 잘 생각해보세요~ 극한의 개념을 부등식(a과 함께 생각해본다면 금방 이해하실 수 있습니다.

만약 연속함수가 아니라면… 최대값이나 최소값을 정의할 수 없게 됩니다. 최대값만 있고 최소값이 없다면 최대, 최소정리를 만족하지 않게 됩니다.
(최대,최소정리에서는 반드시 최대값과 최소값 모두를 가져야 하기 때문이죠.)

위의 분수함수 그래프를 보세요. x=0인 점이 포함되게 x의 범위를 잡으면 최소값과 최대값을 정할 수 없습니다. 모두 무한대로 발산하기 때문이죠. 따라서 x의 폐구간에서의 함수가 연속함수가 아니라면 최대, 최소정리를 만족할 수 없게 됩니다.

다음으로 중간값정리에 대해서 알아봅시다.

위의 그래프를 보면서 설명을 하겠습니다. X가 1부터 3.7까지 폐구간입니다. 이 때 y의 범위는 1에서 6까지가 되네요. 1에서 6 사이의 임의의 어떤 점 k를 잡아도 그 함수값을 만족하는 임의의 점 x=c가 존재합니다. 반드시 그렇게 되지요. 물론 이 점이 여러 개가 될 수도 있습니다. 그래프가 출렁출렁한다면 그렇겠죠? 만약 k가 y=0인 직선이라면 c라는 점이 바로 방정식의 해가 된답니다. 이런 원리로 방정식의 근의 유무를 확인하는데 중간값정리가 쓰입니다.

중간값정리는 미적분학 이외에도 수학에서 매우 중요하게 쓰이는 중요한 정리입니다. 물론 자주 볼 일은 없겠지만 깊이있는 이론물리학이나 수학에서 중요한 힌트가 되기도 하니 한 번쯤 구경해봐야 할 정리입니다. 증명이나 구체적인 설명은 미적분학을 벗어나기 때문에 넘어가겠습니다.

여기까지 연속성과 그에 따른 최대, 최소정리, 중간값정리에 대해 알아보았습니다. 다음에는 정말 미분이 무엇인지 파헤쳐보도록 하겠습니다. ^^