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2장. 원궤도
글쓴이 : 조우성 날짜 : 2007-01-25 (목) 18:18 조회 : 11327

2장. 원궤도


이전 챕터에서 우리는 방정식(1.1)과 (1.2)를 통해 뉴턴이 처음으로 발견한 운동법칙과 그의 보편적인 중력법칙에 대해서 정의했다. 두 개의 법칙들은 우리가 중력의 영향을 받는 한 물체가 다른 물체 주위를 도는 궤도를 계산할 수 있게 해주었다. 이런 궤도 중 특별히 간단한 것이 원 궤도이다. 우리는 방정식(1.2)에서 정의된 중력장에서 원 궤도가 가능하면서 안정적이라는 것을 추측할 수 있을 것이다. 원 궤도에 대한 주장은 이후 챕터에서 증명될 것이다.

방정식 (1.2)에서 나온 중력법칙은 다음처럼 주어진다.

[[{Large F_{G}= - frac{G M m}{r^{2}} hat{r}}]] (2.1)

여기서 FG 는 질량 M 과 m 인 물체 사이에 작용하는 중력이다. 단위벡터인 [[hat{r}]]은 직선의 두 물체를 잇는 직선의 방향을 가리키며 [[r]]은 두 물체 사이의 거리를 나타낸다. 이에 대한 상황은 그림 2.1에 그려져 있다.


우선은 두 물체의 질량이 점 질량이라고 가정하자. 우리는 간단히 구형의 대칭성을 가진 물체는 물체의 기하학적인 중심에 질량이 집중되어 있다고 볼 수 있을 것이다. G 는 중력상수라는 상수(constant)이다. 그리고 이것은 중력장에서 힘의 세기를 결정한다. 그림 2.1에서 질량 M 인 물체가 좌표계의 원점에 있고, 이것은 공간에 고정되어 있다고 가정하자. (우리는 곧 질량 M 이 질량 m 보다 훨씬 크다는 것과 같은 말임을 보일 것이다.) 처음의 FG는 질량 M 이 있는 원점을 향해 있다는 것을 알아두자. 중력은 인력(끌어당기는 힘)이기 때문에 힘의 방향이 원점을 향한다. 또한 극좌표계에서 단위벡터 [[hat{r}]]은 원점으로부터 멀어지는 방향이라는 것을 알아두자. FG 와 [[hat{r}]]의 방향이 항상 서로 반대라는 이유 때문에 방정식(2.1)에서 우변에 음의 부호가 붙는 것이다.

그림 2.2는 우리가 가정한 원궤도가 이러한 상황에서 가능하다는 것을 보여준다.

우리는 여기서 원궤도의 반지름이 R 이고 벡터 v 는 질량 m 의 속도라고 가정한다. 두 질량 사이에는 두 개의 힘이 작용한다. 하나의 힘은 질량 M 인 물체 방향으로 작용하는 힘이며, 또 다른 힘은 중심에서 밖으로 향하는 힘(원심력)이다. 원심력은 원궤도를 따라 움직이는 물체에서 경험할 수 있다. 만약 질량 M 인 물체와 질량 m 인 물체가 끈으로 연결되어 있다면 끈에서의 장력이 중력을 대체할 수 있으며 물론 원심력과 균형을 이룬다.

원심력은 이 전 챕터에서의 방정식(1.1)을 사용해 계산할 수 있다.

[[{Large F_{c} = m frac{dv}{dt}}]]   (2.2)

우리는 방정식 (2.2)에서 보이는 속도의 변화율에 대한 수치를 구할 필요가 있다. 이를 구하기 위해서 우리는 궤도의 속도벡터가 어떻게 변하는지 볼 필요가 있다. 방정식 (2.1)에서 질량 m 과 질량 m 이 궤도를 돌면서 만들어지는 반지름 R 이 모두 상수이기 때문에 속도의 크기 [[{Large |v|}]] 역시 상수가 되어야 한다. 그러므로 속도의 변화량은 오직 질량 m 이 궤도를 따라 움직이면서 생긴 방향의 변화량에 의해 결정된다. 그림 2.3 에 설명이 되어있다. 만약 매우 우리가 매우 작은 각인 δθ를 고려한다면, 우리는 벡터 v가 그림 2.2에서 보는 것처럼 행동함을 볼 수 있을 것이다. Δv 라는 벡터는 속도벡터 v의 방향의 변화를 나타낸다. 여기서 우리는 Δv가 항상 좌표계의 중심에 있는 질량 M의 방향을 가리킨다는 것을 알아두자.


그러므로 

[[{Large F_{c} = m frac{dv}{dt} = -m |v| frac{dtheta}{dt} hat{r}}]]  (2.3)


  여기서 속도의 미소 변화량은 다음과 같이 주어진다.

[[dv = -|v| dtheta hat{r}]]  (2.4)

질량 m 인 물체의 각속도 ω는 dθ/dt로 정의되므로 원심력은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

[[F_{c} = -m |v| omega hat{r}]]  (2.5)

여기서 [[|v|]]를 간단히 v 라고 쓰고, 반지름이 R 인 원궤도에서의 속도 [[upsilon]] 가 다음과 같으므로

[[upsilon = R omega]]  (2.6)

우리는 다음과 같은 원심력을 얻는다.

[[F_{c} = - frac{m upsilon^{2}}{R} hat{r}]]  (2.7)

방정식 (2.7)과 (2.1)에서 다음과 같은 결과를 얻게 된다.

[[F_{G}=F_{c}]]       [[G frac{Mm}{R^2} = frac{m upsilon^{2}}{R}]]    (2.8)

방정식 (2.8)은 속도벡터의 궤도 속력 [[upsilon]]를 결정한다.

[[upsilon = sqrt{frac{GM}{R}}]]  (2.9)

질량 m 이 방정식 (2.8)의 양 변에 나타나는 것을 알아두자. 이는 궤도 속력이 오직 원의 반지름과 질량 M 의 크기와 관계있다는 것을 나타낸다. 방정식 (2.9)은 방정식 (2.6)에서 정의한 각속도를 이용하여 다시 쓸 수 있다. 

[[Romega = sqrt{frac{GM}{R}}]]  (2.10)

여기서 우리는 다음을 얻는다.

[[R^3 omega^{2} = GM]]  (2.11)

각속도는 궤도의 주기와 관련이 있다. 여기서 주기는 한 궤도 한 바퀴를 도는데 걸리는 시간이다. 각속도의 정의로 돌아가서 보면

[[omega = frac{dtheta}{dt}]]    or   [[omega dt = dtheta]] (2.12)

이를 궤도에 대해 적분하면(integrating around one orbit)

[[int_{0}^{tau} omega dt = int_{0}^{2pi} dtheta]]

우리는 다음과 같은 결과를 얻는다.

[[omega T = 2pi]]   (2.13)

여기서 T는 궤도의 주기로 정의된다. 방정식 (2.13)을 방정식 (2.11)에 대입하여 풀면


[[R^3 = T^2 Big(frac{GM}{4pi^{2}}Big)]]   (2.14)


위의 식은 케플러(Kepler)가 만든 원운동을 하는 행성 운동의 세 번째 법칙이다. 그의 두 번째 법칙 역시 원운동에서 유효한데 같은 시간에 같은 원의 면적을 휩쓸고 지나가야 하므로 궤도 속도 [[upsilon]]역시 상수가 되어야 하기 때문이다. 다음 챕터에서 우리는 이러한 주장들이 타원 궤도에서도 적합하다는 것을 보일 것이다.

방정식(2.11)은 지구 주위를 원 궤도를 따라 운동하는 인공위성의 움직임을 설명하는데 좋은 근사식이 된다. 근사법의 결과는 인공위성의 질량이 중심에 있는 물체의 질량(지구)과 비교했을 때 무시할 수 있을 정도로 작다는 것을 보여준다. 원 운동에서 정확한 관계에 대한 유도는 그림 2.4를 보면 된다.

인공위성과 지구는 지구-인공위성 계(system)에서 질량의 중심을 중심으로 움직인다. 지구의 질량이 인공위성의 질량보다 차수의 크기가 훨씬 크기 때문에, 실용적인 측면에 있어서 질량의 중심은 지구의 중심에 있다고 볼 수 있다. 다른 흥미로운 예로는, 두 개의 별이나 두 개의 소행성이 있다. 이 두 개의 별 혹은 소행성은 서로 질량을 비교할 수 있는데 두 개의 별 혹은 소행성은 서로 공전하는 것을 볼 수 있다. 질량의 중심으로부터 [[m_{1}]]까지 거리가 [[r_{1}]] 그리고 [[m_{2}]]까지 거리가 [[r_{2}]]일 때를 보자. 우리의 원래 문제에서는  [[m_{1}=M_{E}]]이고  [[m_{2}=m_{s}]]이다. 만약 인공위성에 작용하는 힘은 균형을 이루고 있다면,

[[m_{2}omega^{2}r_{2} = Gfrac{M_{E} m_{s}}{r^{2}}]]  (2.15)

여기서 [[r = r_{1}+r_{2}]] 인데 그 이유는 전체 거리가 상호작용하는 두 물체의 사이의 거리이기 때문이다.

지구에 대응하는 방정식은

[[M_{E}omega^{2}r_{1} = G frac{M_{E} m_{s}}{r^{2}}]] (2.16)

첫 번째 방정식(2.15)에서 [[M_{S}]] 와 두 번째 방정식(2.16)에서 [[M_{E}]]는 소거된다. 이 계에서 질량의 중심은 고정되어 있기 때문에 우리는 다음을 얻을 수 있다.

[[m_{s} r_{1} = M_{E}r_{1}]]   (2.17)   (지레의 원리를 이용하면 쉽게 이해할 수 있을 것이다. :: 역자 주)

위의 두 개의 방정식(2.16 & 2.17)을 이용하면 다음을 얻는다.

[[(r_{1}+r_{2})omega^{2} = G frac{M_{E}+m_{s}}{r^{2}}]]  (2.18)

방정식 (2.18)은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

[[omega^{2} R^{3} = g(M_{E}+m_{s})]](2.19)

위의 식은 원운동에서의 케플러법칙을 정확히 기술한 것이다. 그리고 우리는 이전의 얻은 방정식 (2.11) 의 오른쪽 항에서 지구의 질량 대신 지구와 인공위성의 질량의 합으로 바꾸어 이 전의 식(2.18)을 얻을 수 있다. 명확히 말하자면, 인공위성 동역학에서 두 식의 큰 차이점은 없으며 결과는 옳게 나온다. 반면 우리가 질량을 비교할 수 있는 물체들의 회전을 공부한다면 방정식 (2.19)은 유효하게 쓰일 수 있다.

근사의 수치를 구하기 위해서, 케플러의 법칙은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

[[omega^{2} r^{3} = GM_{E} Big( 1+ frac{m_{s}}{M_{E}}Big)]] (2.20)

만약 인공위성의 무게가 1톤이라면 [[m_{s}/M_{E}]] 의 비율은 [[10^{-22}]]이 된다. [[m_{s}/M_{E}]]의 값을 무시할 때 이 수치는 오차가 된다. 지구 주위를 도는 인공위성의 고도는 지구의 반지름보다 충분히 작다. 이러한 상황은 그림 2.5에 묘사되어 있다. 예를 들면 전형적인 우주왕복선의 임무에서 궤도의 고도는 480km 정도 되는데 지구의 반지름인 6370km와 비교된다. 이러한 상황에서는 원궤도의 특징들을 이끌어낼 때처럼 지구의 질량이 점 질량이라고 가정하기에는 명백하지가 않다. 우리가 보여야 할 것은 지구처럼 근사적으로 구형태의 대칭적인 물체에서 지구의 질량은 지구 중심에 위치한 점 질량으로 간주할 수 있다는 것이다.

이 이론을 증명하기 위해서, 우리는 퍼텐셜 함수의 개념을 소개할 것이다. 퍼텐셜 함수는 물체가 중력장 안에서 가지는 “퍼텐셜 에너지”와 관련이 있다. 그림 2.6의 상황을 생각해보자. 질량 m 인 물체를 r1에서 r2까지 이동하는데 필요한 일은 얼마일까? 일의 정의는 다음과 같다.

[[W= int_{r_{1}}^{r_{2}} vec F cdot dvec r]]  (2.21)

이제 방정식 (2.1) 을 힘의 항에 대입한다.

[[W=int_{r_{1}}^{r_{2}}Big[-frac{GmM}{r^{2}}Big]dr = GmM Big[frac{1}{r}Big]_{r_{1}}^{r_{2}}]] 

[[GmM Big(frac{1}{r_{2}}-frac{1}{r_{1}}Big)]]  (2.22)

물체를 밖으로 밀 때(r이 증가하도록) 일은 항상 음이라는 것을 주의하라. 이는 물체가 안쪽으로 떨어질 때 일은 완료되어 있고 양의 값을 가진다는 것을 뜻한다. (2.22)로부터 한 물체가 중력장에서 서로의 지점과 연결될 수 있을 때 퍼텐셜 에너지 를 이끌어낼 수 있다.   

[[V_{g}=frac{GmM}{r}]] (2.23)

질량 m 인 물체가 r1 으로부터 r2 까지 움직이는데 드는 일은 다음과 같다.

[[W = V_{E}(r_{2}) - V_{E}(r_{1})]]

퍼텐셜 에너지들의 차이점은 점  r1 과 점 r2 로 구할 수 있다. 퍼텐셜 에너지는 벡터보다는 스칼라이기 때문에 매우 유용하다. 중력(Fg)은 항상 퍼텐셜 함수의 그레디언트(Gradient)값을 가진다.

[[F_{g} = nabla V_{E}]]  (2.24)


이런 관계는 매우 유용하다. 그리고 우리는 종종 다음 챕터에서 이를 볼 것이다.

 질량이 고르게 분포한 구의 질량 중심이 한 가운데에 존재한다는 사실의 증명은 다소 지루하다. 그래서 우리는 단지 증명 과정의 윤곽을 적분을 쓰지 않고 표현해볼 것이다. 상황은 그림 2.7에 묘사되어 있다. 각각은 얇은 구 껍질의 대수(a large number)로 나뉜다. 각각의 껍질은 매우 얇아서 껍질의 반지름으로 비유할 수 있다. 구 껍질의 질량요소 에 기인하는 질량 m의 위치에서 중력 퍼텐셜의 기여는 다음과 같다.

[[dV_{g} = frac{Gm dM}{r_{1}}]](2.25)

여기서 퍼텐셜 함수의 유용함은 명백해진다. 방정식 (2.25)은 스칼라 함수이다. 만약 우리가 퍼텐셜 방정식이 아닌 힘 방정식을 사용했다면, 우리는 벡터 합성을 다뤄야 했을 것이다. 일반적으로 이러한 벡터 합성 연산은 방정식 (2.25)에서 정의된 스칼라 합성보다 훨씬 복잡하다. 이런 합성이 끝난 후 결과는 다음과 같다.

 [[V_{g}(shell) = frac{GmM(shell)}{r}]]   (2.26)

만약 껍질의 질량이 중심 O 에 집중되어 있다면, 함수는 아마도 동일하게 나올 것이다. 동일한 중심을 가지는 껍질들의 합의 구성으로 구가 이루어져있기 때문에, 마지막 합은 간단히 각 껍질이 기여하는 중력 퍼텐셜이 더해진 것이 된다. 또한 마치 질량이 중심 O 에 위치한 것처럼 각각의 껍질이 영향을 미치기 때문에, 전체의 구는 같은 방법으로 영향을 미쳐야만 한다. 그러므로

[[V_{g}(sphere) = frac{GmM(sphere)}{r}]]  (2.27)

이렇게 증명이 된다.

정의된 퍼텐셜 에너지 함수를 가지고 있다면, 원 궤도를 따라 움직이는 물체의 전체 에너지를 정의하는데 이 개념을 유용하게 쓸 수 있다. 운동에너지는 다음과 같이 주어진다.

  [[E_{K}=frac{1}{2}mv^2]]  (2.28)

그리고 속도는 항상 상수이기 때문에 이 값은 항상 상수 값을 가진다. 퍼텐셜 에너지는 방정식 (2.23)에서 정의되었다. 예를 들어, 우리가 만약 지구의 표면위에 인공위성을 쏘아올리고 지구의 중심으로부터 측정되는 반지름 r 의 궤도에 올려놓고 싶다면, 그 때 거리 r의 위치에 질량 m인 인공위성에 소모되는 일(에너지)는 다음과 같다.

[[W = GmM_{E} Big(frac{1}{R_{E}}-frac{1}{r}Big)]]  (2.29)

여기서 [[M_{E}]]는 지구의 질량[[(5.98 times 10^{24} Kgm)]]이고 [[R_{E}]]는 지구의 반지름(6371km)이다. W가 항상 양의 값이라는 것을 기억하자. 이 때의 인공위성의 전체 에너지는 운동에너지와 퍼텐셜 에너지의 합이다.

[[E_{r}=frac{1}{2}mv^{2}+frac{GmM_{E}}{R_{E}}-frac{GmM_{E}}{r}]]  (2.30)

오른쪽에서 두 번째 항은 지구의 표면에 위치했을 때의 물체의 퍼텐셜 에너지를 나타내기 때문에 상수 값을 가진다. 에너지 스케일에서의 영점(zero point)이 제멋대로이기 때문에, 우리는 상대적으로 지구 표면의 퍼텐셜 에너지를 취할 수 있다. 그러므로 전체 에너지는 다음과 같이 기술될 수 있다.

[[E_{tau}=E_{k}^{`}+frac{GmM_{E}}{R_{E}}]]  (2.31)

그리고 지구의 표면에 상대적으로,

[[E_{tau} = frac{1}{2}mv^2 - frac{GmM_{E}}{r}]]   (2.32)

이것은 모든 궤도에서 계속 볼 수 있는 매우 일반적인 관계이다. 원 궤도에서 우리는 우리가 반지름 r의 위치의 인공위성의 궤도 속도를 위한 방정식 (2.9)을 사용할 수 있다는 것을 고려해보자.

[[v^2 = frac{GM_{E}}{r}]](2.33)

그러므로 

[[E_{tau}=frac{1}{2}frac{GmM_{E}}{r}-frac{GmM_{E}}{r}]]   (2.34)

[[E_{tau}=-frac{1}{2}frac{GmM_{E}}{r}]]  (2.35)

전체 에너지는 오직 반지름 r에 의해 결정되며 항상 묘사된 상황에서 음수 값을 가진다. 우리는 다음 장에서 방정식 (2.32)이 어떤 궤도에서도 일반적인 관계가 유효하다는 것과 방정식 (2.35)도 역시 반지름에 대한 정의의 변화에 따른 어떤 궤도에 대해서도 유효하다는 것을 보일 것이다.

2장에서 나온 간단한 결과들을 이용해서 몇 가지의 실용적이면서 중요한 문제들을 풀 수 있다는 사실을 발견할 때 우리는 매우 놀랄 것이다. 몇 가지 것들은 다음 예제에서 논의될 것이다.

Danby's(1962)의 서론과 McCuskey's(1963), 그리고 Ryabov's(1959) 책들을 추천한다.

(부록에 있는 참고문헌을 보면 된다.)


이 글은 Advantures in Celestial Mechasnics Sec.Edition 을 번역한 것입니다.
번역자는 조우성(car5654@astronote.org)이며 잘못된 번역이나 내용이 있으시다면 코멘트를 꼭 달아주셨으면 합니다..^^

 



지용호 2007-01-26 (금) 10:10
우왕~~~ 잘 봤어용
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송은아 2007-02-11 (일) 22:22
보긴잘봤죠;;
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김어진 2008-01-06 (일) 19:19
잘 보고 싶어요
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