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4장. 타원궤도
글쓴이 : 조우성 날짜 : 2007-01-26 (금) 17:17 조회 : 14074

제4장. 타원궤도

 이 장에서, 우리는 어떤 조건에서 그들의 질량 중심을 타원궤도로 돌고 있는 두개의 움직이는 물체를 볼 것이다. 3장에서처럼, 우리는 질량[[m_{1}]]과[[m_{2}]] ,그리고 식(3.26)에서 시작한다.

[[m_{1}\frac{d^2r}{dt^2}=\frac{-Gm_{1}m_{2}}{r_{1}^{2}}\hat r]]  (4.1)

 [[r_{1}]]은 그림3.1에서 정의되어 있고, 단위벡터(unit vector)r은 [[m_{1}]]과 [[m_{2}]]을 연결하는 방향을 결정짓는다.

(4.1)식에서 해답을 얻기 위하여, 우리는 그림4.1에서의 좌표계를 정의한다. 질량[[m_{2}]]는 좌표계의 원점에 놓는다. 이 가정은 유도를 쉽게 하기 위함이며, 또 다른 방식으로 표기하면 “reduced mass"라 할 수 있다. 식(3.21)에서 정의한 것처럼, [[m_{1}]]과또 다른 질량 [[m_{2}]]  혹은  [[m_{1}\ll m_{2}]]. 다른 방법은 궤도를 정하기 위해 그림4.1에서처럼 좌표계 원점 주위에서 이끌어 낼 것이다. 간단하게 하기위해 우리는 [[m_{1}]],[[m_{2}]] 대신에 ‘test mass', m과 M을 사용한다. 식은 다음과 같다.

[[m_{1}\frac{d^2r}{dt^2}=\frac{-GmM}{r_{1}^{2}}\hat r]]  (4.2)

 식(4.2)는 시간에 대한 식으로 벡터운동으로 정의한다. 먼저 궤도의 모습을 결정하기위해, 시간변화를 제거해야하고 그림 4.1의 좌표계에서 r과 θ에 대한 식으로 다시 써야한다. 식(4.2)좌변의 이계도함수를 계산하기위해, 항등식에서 시작한다.

[[\vec r = r\hat r]](4.3)

r은 벡터(vector)r의 크기이다. 시간에 대한 도함수는

[[\frac{d\vec r}{dt}=r\frac{d\hat r}{dt}+\hat r \frac{dr}{dt}]]  (4.4)

이계도함수는

[[\frac{d^{2}\vec r}{dt^2}=r\frac{d^2\hat r}{dt^2}+\frac{dr}{dt}\frac{d\hat r}{dt}+\frac{d\hat r}{dt}\frac{dr}{dt}+\hat r \frac{d^2r}{dt^2}]]  (4.5)

이제 시간의 함수 단위벡터 r과 θ의 작용을 보자. 오직 단위벡터의 방향만 바뀌기 때문에 단위 벡터의 크기는 명확히 일정하다. 그림 4.1에서 보듯이 두 개의 단위벡터로 벡터 r이 표현된다. 벡터 r 의 각속도에 따라 원점을 중심으로 좌표계가 회전한다. 그림4.1 으로부터, 벡터r은 같은 비율의 r의 각속도와 θ방향으로 변화한다.

[[\frac{d \hat r}{dt}=\hat \theta \frac{d\theta}{dt}]] (4.6)

단위벡터θ 또한 변화하고, 항상 좌표계의 원점을 표시하기위해 방향이 회전할 것이다.

[[\frac{d \hat \theta}{dt}=-\hat r \frac{d\theta}{dt}]]  (4.7)

식(4.7)에서 마이너스 표시는 벡터θ가 변화하는데 항상 방향은 원점을 가리키는 것을 나타낸다. 식(4.6)에서 단위벡터r의 이계도함수는

[[\frac{d^2\hat r}{dt^2}=\frac{d \hat \theta}{dt}\frac{d\theta}{dt}+\hat\theta\frac{d^2\theta}{dt^2}=-\hat r \Big(\frac{d\theta}{dt}\Big)^2 +\hat\theta\frac{d^2\theta}{dt^2}]]  (4.8)

식(4.8)과 식(4.6)을 이용하여 식(4.5)을 다시 써보면, 다음과 같은 식을 얻는다.

[[\frac{d^2\vec r}{dt^2}=-\hat r r\Big(\frac{d\theta}{dt}\Big)^{2}+\hat\theta r\frac{d^2\theta}{dt^2}+2\hat\theta\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}+\hat r\frac{d^2r}{dt^2}]]
[[=\hat r \Big[\frac{d^2r}{dt^2}-r\Big(\frac{d\theta}{dt}\Big)^2\Big]+\hat\theta\Big(r\frac{d^2\theta}{dr^2}+2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}\Big)]]  (4.9)

운동의 전체 식(4.2)은 이제 식(4.9)을 이용하여 다음과 같이 쓰여 진다.

[[\hat r \Big[m\frac{d^2r}{dt^2}-mr\Big(\frac{d\theta}{dt}\Big)^{2}+\frac{GmM}{r^2}\Big]+\hat\theta\Big(mr\frac{d^2\theta}{dt^2}+2m\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}\Big)=0]]  (4.10)

이 식은 여전히 시간의 변화에 대해서는 일정하고, 물론 벡터들의 관계에서 유도된 벡터 미분방정식이다.

 식(4.10)은 이제 방향과 크기가 일정한 식(3.46)의 각 운동량 vector L을 사용하여 더욱 간단하게 된다. 벡터 L의 크기는 식(3.51)에서 주어진다.

[[L=mr^2\frac{d\theta}{dt}]]  (4.11)

만약 L을 시간에 대해 미분하면, 다음과 같은 식을 얻는다.

[[\frac{dL}{dt}=2mr\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}+mr^2\frac{d^2\theta}{dt^2}=0]]  (4.12)

식(4.12)의 우변은 θ성분을 제거함으로서 식(4.10)의 두 번째 항과 같아진다. 그러므로 r성분은 반드시 지워지고 다음과 같은 식을 얻는다.

[[m\frac{d^2r}{dt^2}-mr\Big(\frac{d\theta}{dt}\Big)^{2}+\frac{GmM}{r^2}=0]]  (4.13)

식(4.11)을 다시 이용하여, 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

[[m\frac{d^2r}{dt^2}-\frac{L^2}{mr^3}+\frac{GmM}{r^2}=0]] (4.14)

식(4.14)은 시간에 대한 함수 벡터r의 크기가 정의된다. 처음에 이미 말했지만 역학보다 모양에 대해 과심을 더 가질 것이다. 원점에 위치한 질량 M의 중력장안에서의 질량 m의 기하학적 배치에 더 관심을 가질 것이다. r을 시간에 대한 함수로 보지 말고, θ에 대한 함수로 보아야한다.

[[\frac{dr}{dt}=\frac{dr}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=\frac{L}{mr^2}\frac{dr}{d\theta}]]  (4.15)

각운동량과의 관계(4.11)를 한 번 더 이용한다. 이계도함수는 다음과 같다.

[[\frac{d^2r}{dt^2}=-\frac{2L}{mr^3}\frac{dr}{dt}\frac{dr}{d\theta}+\frac{L}{mr^2}\frac{d^2r}{d\theta^{2}}\frac{d\theta}{dt}]]  (4.16)

식(4.11)과 식(4.15)을 이용하면 dθ/dt와 dr/dt를 구할 수 있다. 다음과 같은 식을 얻는다.

[[\frac{d^2r}{dt^2}=-\frac{2L^2}{m^2r^5}\Big(\frac{dr}{d\theta}\Big)^{2}+\frac{L^2}{m^2r^4}\frac{d^2r}{d\theta^2}]]  (4.17)

에서 식(4.13)을 이용하여 식(4.17)을 표현한 식과 식(4.11)의 각운동량을 이용하면 dθ/dt 을 구할 수 있고, 다음과 같은 식을 얻는다.

[[\frac{L^2}{mr^4}\frac{d^2r}{d\theta^2}-\frac{2L^2}{mr^5}\Big(\frac{dr}{d\theta}\Big)^2-\frac{L^2}{mr^3}+\frac{GmM}{r^2}=0]]  (4.18)


이 식은 다음과 같은 궁극적인 결과를 보여주기 위해 상수들을 모아 간단하게 나타낸 것이다.

[[\frac{1}{r^2}\frac{dr^2}{d\theta^2}-\frac{2}{r^3}\Big(\frac{dr}{d\theta}\Big)^2-\frac{1}{r}+\frac{Gm^2M}{L^2}]]  (4.19)

이 식은 비선형 미분 방정식이다. 앞의 장에서도 말했지만, 이런 종류의 비선형 미분방정식은 analytic function으로 표현할 수 있는 일반해를 가질 수 없다. 운 좋게도 간단한 변환을 이용하여 식(4.19)의 exact analytic solution을 구할 수 있다.

[[r=\frac{1}{u}]]  (4.20)

θ에 관한 미분방정식은 u와 θ을 이용하여 식(4.20)을 구할 수 있다.

[[\frac{dr}{d\theta}=-\frac{1}{u^2}\frac{du}{d\theta}]]  (4.21)

이계도함수는

[[\frac{d^2r}{d\theta^2}=\frac{2}{u^3}\Big(\frac{d}{d\theta^2}\Big)-\frac{1}{u^2}\frac{d^2u}{d\theta^2}]]  (4.22)

식(4.22),(4.21)과 (4.20)을 이용하여 (4.19)에 대입하면 다음과 같은 식을 얻는다.

[[u^2\Big[\frac{2}{u^3}\Big(\frac{du}{d\theta}\Big)^{2}-\frac{1}{u^2}\Big(\frac{d^2u}{d\theta^2}\Big)\Big]-2u^3\Big[\frac{1}{u^4}\Big(\frac{du}{d\theta}\Big)^{2}\Big]-u+\Big(\frac{Gm^2M}{L^2}\Big)=0]]  (4.23)

식을 정리하면 식(4.23)은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

[[\frac{d^2u}{d\theta^2}+u=\frac{Gm^2M}{L^2}]]  (4.24)

식(4.24)는 단순조화 진동자를 나타내는 식과 같은 형태이다. 그러므로 (4.24)식은 단순한 삼각함수의 형태로 나타낼 수 있다. (4.24)의 해답은 다음과 같다.

[[{\Large u=A\cos (\theta-\theta_{0})+\frac{Gm^2M}{L^2}}]]  (4.25)

미분 식(4.25)에 의해 쉽게 증명된다.

r과 θ, 그리고 기하학적인 궤도를 묘사하여 실제적인 변화를 보면,

[[\frac{1}{r}=A\cos (\theta-\theta_{0})+\frac{Gm^2M}{L^2}]]  (4.26)

A와 는 적분하는 과정에서 나온 상수이다. 상수들의 특별한 의미를 갖게 간단히 보이려고 한다. 식(4.26)을 다시 쓰면

[[r=\frac{1}{A\cos (\theta-\theta_{0})+Gm^2M/L^2}]]  (4.27)

식(4.27)에서 상수들의 물리적 해석을 명확하게 보이기 위해 다음과 같이 다시 쓴다.

[[r=\frac{L^2/Gm^2M}{(Al^2/Gm^2M)\cos (\theta-\theta_{0})+1}]]  (4.28)

이 식을 유용한 형태로 만들면

[[r=\frac{p}{e\cos (\theta-\theta_{0}) +1}]]  (4.29)

p의 양을 다음과 같이 정의한다.

[[p=\frac{L^2}{Gm^2M}]]  (4.30)

e는 다음과 같다.

[[e=\frac{AL^2}{Gm^2M}=Ap]]  (4.31)


 식(4.30)에 의해 p는 두개의 질량 m, M, 그리고 중력상수G, 궤도의 각운동량L에 의해 일정하게 결정된다. e는 p에 의존할 뿐만 아니라 적분상수 A에도 의존하는데, m의 운동의 초기조건으로 정의된다. 두 번째 적분상수인 는 임의의 외부 축에 대한 궤도의 주축의 방향으로 정의된다.(실제적으로 궤도는 주축으로 설명된다.)

 이제 r과 θ로 정의된 극좌표를 이용하여 타원인 식(4.29)로 궤도를 정의하는 것을 본다. e는 타원의 이심률이다. 이 경우에는 이심률이 0이고, 식(4.29)에서 제거하면

[[r=p]]  (4.32)

이것은 p를 반지름으로 하는 원의 식을 나타낸다. 이제 식(4.30)을 이용하여 다음과 같이 쓴다.

[[r=p=\frac{L^2}{Gm^2M}]]  (4.33)

반지름 r도 원 궤도 운동을 하는 물체의 각운동량은 다음과 같다.

[[L=mvr]]  (4.34)

v는 물체의 궤도 속력이다. 식(4.34)과 (4.33)을 조합하여 질량m주위를 돌고 반지름r의 궤도를 갖는 질량m의 속도를 계산 할 수 있다.

[[v^2=\frac{GM}{r}]]

[[v=\sqrt{\frac{GM}{r}}]]  (4.35)

이것은 2장에서 원 궤도에서 유도한 것과 정확히 일치한다. p는 궤도의 이심률이 0이 아닌 경우 타원의 ‘semilatus rectum’이라고 한다.

이것은 물리상수인 G와 m, M의 관계들로 이루어진 매개변수로 타원궤도를 정의하는데 매우 중요하다. 이 작업을 하기위해, 그림 4.2를 보자. 타원궤도의 주축으로 x축을 선택할 수 있다. 이것은 상수을 0으로 두고 적분하기 위함이다.(실제의 근일점거리를 정의할 때 간단히 이점으로 돌아간다.) 질량M을 타원의 하나의 초점F로 두고, test 질량 m을 궤도를 돌게 한다. 운동을 기술하는데 사용된 좌표계의 시작점은 질량M인 초점F에 있다. 타원의 중심으로부터 초점까지는 길이L만큼 떨어져있다. 2a는 장축 2b는 단축이라고 한다.
(semimajor, semomimor에 해당하는 마땅한 단어를 못 찾아 a를 2a로 b를 2b로 바꿨습니다.)

 그림4.2로부터, 이 제로라는 것과 함께 식(4.29)을 이용하여 다음과 같이 유도할 수 있다.

[[a+l=\frac{p}{1-e}]][[a-l=\frac{p}{1+e}]]  (4.36)

이 식들을 조합하면 다음과 같다.

[[2a=\frac{p}{1-e}+\frac{p}{1+e}=\frac{2p}{1-e^2}]]  (4.37)

또는 식(4.36)을 빼고, 다음과 같은 형태로 된다.

[[2l=\frac{p}{1-e}-\frac{p}{1+e}=\frac{2pe}{1-e^2}]]  (4.38)

이 결과를 식(4.37)과 결합하면 다음과 같은 식이 나온다.

[[l=ae]]  (4.39)

이것들은 매우 유용한 관계이다.

극좌표에서 다음과 같은 적절한 변환을 했을 때 친근한 직교좌표계로 동일하게 표현할 수 있다.

[[x=r\cos \theta]]      [[y=r\sin \theta]]  (4.39a)

은 0과 함께 식(4.29)에 식(4.39)을 넣으면 우변의 초점을 시작으로 하는 좌표계에서 타원 식을 얻어 낼 수 있다.

[[p=r+er\cos \theta]]  (4.40)

또는 식(4.39)을 이용하여,

[[p=\sqrt{x^2+y^2}=p-ex]]  (4.41)

다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

[[\sqrt{x^2+y^2}=p-ex]]

양변을 제곱하면,

[[x^2+y^2=p^2-2pex+e^2x^2]]  (4.42)

또는

[[x^2(1-e^2)+y^2+2pex=p^2]]  (4.43)

이 식에서 제곱한 좌편을 정리하면 다음과 같은 식이 나온다.

[[\Big(x+\frac{pe}{1-e^2}\Big)^{2}+\frac{y^2}{1-e^2}=\frac{p}{(1-e^2)^2}]]  (4.44)

이제 좌표계의 시작점에서 타원의 중심으로 가보자, 다음과 같은 변환을 할 수 있다.

[[x'=x+l=x+ae=x+\frac{pe}{1-e^2}]]  (4.45)

식(4.44)에 식(4.45)을 넣으면 다음과 같다.

[[x'^{2}+\frac{y^2}{1-e^2}=\frac{p^2}{(1-e^2)^2}]]  (4.46)

그리고 이 식을 적절히 변형하여 직교좌표계의 타원의 식과 동일한 형태로 만들 수 있다.

[[\frac{x'^{2}}{p^2/(1-e^2)^2}+\frac{y^{2}}{p^2/(1-e^2)^{2}}=1]]  (4.47)


직교좌표계에서 타원방정식의 표준형은 다음과 같다.

[[\frac{x'^{2}}{a^2}+\frac{y^{2}}{b^2}=1]]  (4.48)


식(4.47)과 식(4.48)을 비교하면 다음과 같다.

[[a^2=\frac{p^2}{(1-e^2)^2}]]또는[[a=\frac{p}{1-e^2}]]  (4.49)

이것은 식(4.37)과의 관계에서 타원의 기하학적 성질로부터 유도하는 것과 동일하다. 또 식(4.48)과 (4.47)을 비교하면 다음과 같은 식을 얻는다.

[[b^2=\frac{p^2}{1-e^2}]]또는[[b=\frac{p}{\sqrt{1-e^2}}]]  (4.50)

a와 b사이의 관계는 다음과 같다.

[[a=\frac{b}{\sqrt{1-e^2}}]]  (4.51)

이제 물리적으로 정의된 궤도와 타원의 기하학적 성질사이의 관계를 알아봤다. 

고정된 질량M 주위를 움직이는 질량m의 궤도가 타원임을 증명해보자. 행성의 운동에서 케플러 제 1법칙을 증명했다.(1장을 보라.) 또 원 궤도에서 또 다른 두개의 법칙이 타당한 것을 보았다.(2장을 보라) 이번 장에서 더욱 발전시켜서 케플러법칙이 일반적인 타원궤도에도 잘 적용된다는 것을 보일 것이다. 그렇게 하기 위해서, 타원의 성질뿐만 아니라 타원궤도운동을 하는 물체의 물리적 특성도 봐야 한다. 이것은 시간의 변화에 따른 식들을 다시 소개한다.



그림4.3으로부터 케플러 제2법칙(면적일정의 법칙)을 보자. 그림 4.3에서 면적△A의 조각들은 다음과 같이 정의된다.

[[\Delta A=\frac{1}{2}(r^2\Delta\theta)]] 

또는 미분으로 나타낼 수 있다.

[[dA=\frac{1}{2}(r^2d\theta)]]  (4.52)


양변을 dt로 나누면 다음과 같은 식을 얻는다.

[[\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}r^2\frac{d\theta}{dt}]]  (4.53)

우변의 항에서, m을 곱했을 때 일정한 각운동량으로 정의할 수 있다.

[[\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}\frac{L}{m}=const]]  (4.54)

식(4.54)에서 는 일정한 시간에 같은 면적을 지나가는 것을 볼 수 있다.

타원의 기하학적성질과 물체의 궤도운동의 물리적 성질을 비교하며 케플러 제3법칙을 따라가 보자. 타원의 면적은 장축과 단축의 반으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

[[A=\pi ab]]  (4.55)

식(4.53)을 적분한 결과는 다음과 같다.

[[\int_{0}^{A}dA=A=\pi ab=\frac{1}{2}\frac{L}{m}\int_{0}^{T}dt=\frac{1}{2}\frac{L}{m}T]]
T는 타원을 한바퀴 도는데 걸린 시간이다.

[[2\pi ab=\frac{L}{m}T]]  (4.56)

식(4.51)에서 다음과 같은 식을 얻는다.[[b=a\sqrt{1-e^2}]]


그리하여

[[2\pi a^2\sqrt{1-e^2}=\frac{L}{M}T]]  (4.57)

이제 어느 타원에도 타당한 관계이기 때문에 [[\sqrt{1-e^2}]]항을 제거해야 한다. 식(4.57)에서 양변을 제곱하면 다음과 같다.

[[4\pi^2a^4(1-e^2)=\frac{L^2}{M^2}T^2]]  (4.58)

[[1-e^2=\frac{p}{a}]]  (4.59)

p를 정의하면 다음과 같다.

[[p=\frac{L^2}{Gm^2M}]]  (4.60)

[[1-e^2=\frac{L^2}{aGm^2M}]]  (4.61)

식(4.58)에서 식(4.61)을 이용하면 다음과 같다.

[[4\pi^2a^4\frac{L^2}{aGm^2M}=\frac{L^2}{m^2}T^2]]

[[a^3=\frac{GM}{4\pi^2}T^2]]  (4.62)

 이것이 케플러 제3법칙이다. 원 궤도에서 유도된 제3법칙인 식(2.14)의 형태와 정확이 똑같다는 것을 주목하라. 다른 점은 단지 원의 반지름인 R이 장축의 반(a)으로 바뀐 것 밖에 없다.

 마지막으로 하나만 더 강조하겠다. 복잡한 궤도의 경우, 때때로 우리가 지금까지 다루었던 타원에서의 좌표계에서와 같이 같지 않을 수도 있다. 이런 경우, 는 0이 아니고 이 상황을 설명하기 그림4.4와 같이 한다. 좌표계의 시작점은 오른쪽 초점으로 한다. x축은 타원의 장축과 일치한다. 각는 x와 x'사이의 각이다. x'축에서의 의 변화를 측정하면 x'의 좌표계에서 풀 수 있다.(Since x` is the coordinate system in which the problem is to be solved, the variable x` is measured from the axis x`.) x축과 벡터r사이의 각을 f라고 하고, 이것이 근일점 각거리이다. 그림 4.4를 보면 명확해 진다.

[[f=\theta-\theta_{0}]]  (4.63)

이 상황에서, 근일점거리는 타원의 식에 따라 변화한다.

[[R=\frac{p}{1+e\cos f}]]  (4.64)

이것은 지구 주위를 도는 인공위성의 복잡한 운동에도 유용하게 쓰인다.(11장을 보라)

이 장을 더 깊게 공부하고 싶으면, Danby(1962), McCuskey(1963)과 Roy(1978)의 책을 추천한다.( 부록을 참조하시오.)


이 글은 Advantures in Celestial Mechasnics Sec.Edition 을 번역한 것입니다.
번역이 어색한 문장에는 뒤에 원래의 문장을 실었습니다.
번역자는 이범현(lbhlbh3@naver.com)이며 잘못된 번역이나 내용이 있으시다면 코멘트를 꼭 달아주셨으면 합니다..^^


이형철 2007-01-29 (월) 04:04
완전 멋있다...
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김어진 2008-01-06 (일) 18:18
이제 미분 하는데 ㅠ.ㅠ 3주만 더 배우자!!!!!!!!!
댓글주소
 

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