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7. 최대,최소값과 극값
글쓴이 : 조우성 별님  (219.♡.139.173) 날짜 : 2008-10-05 (일) 21:21 조회 : 15066
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최대, 최소값과 극값

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이번에는 미분이 그래프를 해석하는데 어떻게 쓰일 수 있는지 알아보겠습니다. 지금까지는 미분이 한 점에서의 기울기라는 사실만 가지고 여러 문제를 풀 수 있었죠. 다음에 소개할 내용은 함수에서 가장 큰 값 찾기와 미분값이 0인 지점의 의미입니다.

 

1. 최대값, 최소값

 Y=x^2 이라는 이차함수가 있다고 생각을 해봅시다. 이 함수에서 최소값은 얼마일까요? 중학교에서 배웠던 문제군요. 그 때의 기억을 더듬어서 그래프를 그려보면 최소값은 0이라는 사실을 금방 알게 됩니다. 그렇다면 최대값은 얼마일까요?

 

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(그림 : -3~6 에서의 y=x^2 그래프)

 

최대값을 어떻게 찾아야 할지 참 난감합니다. X에 어떤 수를 넣어야 최대값이 될지 알 수 없기 때문이지요. 굳이 말하자면 무한대일 수도 있지만 이는 값(Value)이 아니기 때문에 최대값은 존재하지 않는다고 말합니다. 따라서 이 경우 최대값과 최소값을 모두 구하기 위해선 (모두 존재하기 위해선) 어떤 범위를 정해주어야 합니다. 그 후에 가장 작은 값과 가장 큰 값을 찾고 최소값과 최대값이란 이름을 붙여주면 됩니다. 모두들 아시겠지만 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾는 방법은 간단합니다. 가장 큰 값은 다른 값<아래 정의에선 f(x)>들과 비교했을 때 다른 값들이 모두 작아야 하겠죠? 마찬가지로 가장 작은 값은 다른값들과 비교했을 때 다른값들이 모두 커야 합니다.

 

 이를 수학적인 표현으로 정의하면 다음과 같습니다.

 

최대값, 최소값의 정의

최대값 : x의 범위 D에 존재하는 어떤 함수에서

최소값 : x의 범위 D에 존재하는 어떤 함수에서

 

여기서 y=x^2의 예를 다시 살펴보겠습니다. 우선 범위가 (-, )인 예부터 보는게 좋겠네요. 아 방금 위에서 최소값이 0이고 최대값이 없다고 했으니 넘어가겠습니다.

 

그 다음 범위가 (0, 2) 때에는 어떻게 될까요? ( (0, 2) 0를 뜻합니다.)

 

위의 그래프를 참고한다면 최대값과 최소값은 모두 끝점이 되겠죠? 하지만 최소값은 x=0의 경우가 아닙니다. X의 범위에 0은 들어가지 않기 때문이죠. 극한의 아이디어를 다시 떠올린다면 가장 작은 값을 정할 수 없다는 것을 알게 됩니다.

반면 범위가 [0, 2]일 경우에 최소값은 0, 최대값은 4가 됩니다. 이 범위에서 0 2는 모두 x의 범위 안에 들어가기 때문에 대입하여 최대, 최소값을 찾을 수 있지요.

 

이를 정리한 것이 최대, 최소정리입니다.

 

최대, 최소정리

연속적인 함수 f에서 범위가 [a, b]일 때 반드시 x1, x2에서 최대값 M, 최소값 m을 가진다.

,

 

범위 [a,b]

 

 

위의 정리에서는 반드시 유한하고 닫혀있는 범위가 필요합니다. 또한 연속적이어야 하지요. 만약 이런 조건이 갖추어지지 않은 경우라면 최대, 최소값을 반드시 가지지는 않습니다. 가질 수도 있고 아닐 수도 있지요. 다시말해서 연속적인 함수가 있으며 유한하고 닫혀있는 범위가 주어진다면 반드시 최대값, 최소값이 존재할 수 밖에 없다는 것입니다.

 

만약 범위는 잘 주어졌는데 연속함수가 아닐 경우는 어떤 일이 생길까요? 아래의 그래프를 보면 알 수 있습니다.

 

 

분명 구간은 유한하며 닫혀있지만 x=1인 점에서 불연속이 생겼습니다. 이 경우 최소값은 x 0 1 일 때 y=0이 되지만 최대값은 존재하지 않습니다. 결국 [0, 1)의 범위에서 y=x의 문제와 같습니다.

 

2. 극대, 극소값

이제는 극대, 극소값에 대해 알아보겠습니다. 최대, 최소값이 주어진 범위에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾는 것이었죠? 극대, 극소값은 작은 범위에서 큰 값이나 작은 값을 찾는 것을 말합니다. 그림을 보면 쉽게 이해할 수 있습니다.

 

 

위의 그래프에서 최대값은 빨간색 동그라미, 최소값은 파란색 동그라미입니다. 극대값은 빨간색 접선의 점, 극소값은 파란색 접선의 점입니다. 대충 어떤 의미인지 이해가 되실겁니다. 극점들은 모두 근처의 x 범위에서 가장 크거나 작은 값을 가지고 있습니다.

 

극점에서의 미분

 

만약 f(x)가 주어진 범위에서 극대값 혹은 극소값을 가지고 있으며 f(x) c점에서 미분이 가능하다면 f’(c)=0이다.

 

한마디로 극대, 극소값에서 미분이 된다면 반드시 그 미분값이 0이어야 한다는 것입니다. 따라서 극대, 극소값은 다음과 같은 모양으로 나타나겠죠?

 

 

어떤 함수에서 최대, 최소값(혹은 극대, 극소값)가질 수 있는 곳은 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

  1. f(x)의 도함수인 f’(x)=0 인 점

  2. f’(x)가 정의되지 않는 점

  3. 주어진 범위에서 f(x)의 양 끝점

 

여기서 3번을 제외한 1,2번의 점을 우리는 임계점(Critical point)이라고 합니다.

여기서 주의할 점은 최대, 최소값 혹은 극대, 극소값이 임계점을 가진다는 것입니다. 임계점에서 반드시 최대, 최소값 혹은 극대, 극소값이라는 것이 아님을 알아두어야 합니다. 이를 위해 간단한 예를 들어보겠습니다.

Y=x^3 이라는 함수의 도함수는 3x^2입니다. 여기에 x=0을 대입하면 미분값이 0이 되어 위에서 말한 임계점(Critical point)이 됩니다. 그러나 그래프를 그려보면 사정이 조금 달라집니다.

 

 

위의 그래프가 바로 y=x^3의 그래프입니다. 보시면 x=0인 점이 극값이 아니지요? 극값은 반드시 위로 볼록하거나 아래로 볼록해야 합니다. 그래야 주변의 작은 범위에서 가장 큰 값을 갖거나 작은 값을 가질 수 있으니까요. 근데 y=x^3의 함수에서 x=0인 지점은 그러질 않습니다. 나중에 나오지만 이는 변곡점이라고 하며 극값을 가지지 않습니다.

 

위에서 보는 것처럼 임계점이 반드시 극값은 아닙니다. 극값이 임계점의 형태를 나타내는 것뿐이지요.

 

3. 유한하고 닫힌 범위에서 극값과 최대값 찾기

자 이제 우리의 목표에 도달했습니다. 우리는 극값과 최대, 최소값을 정해진 범위에서 찾는 것이 목표였습니다. 그런데 왜 이런 일이 중요할까요? 대부분의 과학과 경제학에서 만나는 문제들이 모두 이런 극값 혹은 최대값 문제이기 때문입니다. 우리가 쉽게 접하는 시험문제들도 가장 짧은 시간, 가장 긴 거리 등을 구하는 문제들이죠. 그렇기 때문에 이번 내용은 문제를 풀기 위해 매우 중요합니다.

 

극값과 최대값을 찾는 방법은 다음과 같습니다.

1. 주어진 함수 f(x)에서 임계점(미분값이 0인점, 미분값이 없는 점)과 양 끝점을 계산한다.

2. 이들 중에서 가장 큰 값이나 가장 작은 값을 찾아낸다.

 

이렇게 간단히 극점과 최대값, 최소값에 대해 알아보았습니다. 여기에서 필요한 몇 가지 증명과 재미있는 법칙들은 다음에 소개를 해드리겠습니다. 물론 이런 것들을 알지 못하더라도 기초적인 미적분에는 전혀 문제가 되지 않습니다.

오늘 강의에서 중요한 것은 바로 극값과 극점입니다. .. 자꾸 극점이라고 말을 하기만 했네요. 극점은 극값을 나타내는 x의 값입니다. X=4 일때 극값이 25이면 4가 극점이 되지요. 위의 내용들 중에서 극점을 찾는 방법이 미분값이 0인 지점이라는 것과 극점의 모양만 기억해두시면 충분합니다.

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이형철별님 (211.♡.90.16) 2008-10-07 (화) 07:07
우성이는 천재 같어
댓글주소
조우성별님 (210.♡.229.2) 2008-10-07 (화) 11:11
아니에요..ㅋ 단지 유명한 미적분학 책을 보고 짜집기했을 뿐이에요~
형도 참 ㅋㅋ
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권혁필별님 (68.♡.194.189) 2008-12-14 (일) 23:23
오... 이런코너가 있다는걸 지금에라도 발견해서 다행이네요!!ㅎㅎ
정말 잘봤습니다!! 학원못지않은 강의 내용이었던것 같습니다..
다음 내용도 기대되네요!!
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최예찬별님 (124.♡.9.7) 2009-01-19 (월) 00:00
넘 쉬고 계셔...
인제 새로운 해도 되겠다. 올려주세요.
목빠질게 기다려요.
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무임소장관별님 (210.♡.115.13) 2013-12-03 (화) 10:43
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