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6. 음함수 미분법
글쓴이 : 조우성 별님  (219.♡.139.143) 날짜 : 2008-10-04 (토) 09:09 조회 : 13939
음함수.docx (20.4K), Down : 2, 0000-00-00 00:00:00

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음함수(Implicit) 미분법

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이번에는 음함수라는 함수의 한 형태와 이를 미분하는 방법에 대해 알아보겠습니다. 음함수 미분법은 다양한 함수를 미분할 수 있는 방법이기 때문에 전의 미분법 공식들과 함께 알아두어야 합니다.

 

1. 음함수란 무엇일까?

우선 음함수가 무엇인지 알아보겠습니다. 음함수(Implicit function)는 변수 x y로 이루어진 함수 중에서도 f(x,y)=0의 모양을 가진 함수를 말합니다. 여기서 f(x,y)=0의 모양은 x y가 모두 한쪽으로 정리가 되어있는 모양을 말합니다. 반대로 양함수(Explicit function)이라는 것도 있습니다. 왠지 음과 양이라고 하면 반대같죠? 그렇습니다. 반대라고 하기엔 어색하지만요. 양함수란 y=f(x)의 모양을 하고 있는 함수들을 말한답니다. 예를 통해 살펴보겠습니다.

 

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 ----- f(x,y) =0 의 모양(음함수 모양)

 

----- y=f(x)의 모양(양함수 모양)

 

위에서 예를 든 함수를 보세요. 첫 번째 함수는 x y가 모두 왼쪽으로 정리가 되어 있습니다. 오른쪽의 값을 0으로 만들어 놓은 것이죠. 반면 두 번째 함수는 y에 대해 함수가 정리되어 있습니다. 첫번째 경우를 우리는 음함수라고 부르며 두번째 경우를 양함수라고 부릅니다. 보통은 양함수모양의 미분법은 전에 살펴본 미분법과 같기 때문에 양함수 미분법을 구분하지는 않습니다.

 

이제 음함수가 어떤 것인지 아시겠죠? 음함수란 f(x,y)=0이라는 모양을 만족하는 함수들을 부르는 말입니다. 단지 이름을 붙인 것이라고 생각을 하시면 쉽게 이해할 수 있을꺼에요.

 

2. 음함수를 미분해보자

 이제 음함수를 미분하는 방법에 대해 알아봅시다. 음함수 역시 똑같이 미분하면 됩니다. 위에서 예를 든 수식을 미분해보죠.

 

 

 

 

 

 

이렇게 풀면 됩니다. 이렇게 길고 황당한 식들을 보니 마음이 심란해지는군요. 이제부터 하나씩 차근차근 설명을 해드릴께요.

(1)번 식을 살펴보면 원래의 음함수(x^2 + y^2 – 4=0)의 양변에 미분연산자를 붙였습니다. 이 미분연산자는 뒤의 있는 식을 미분해주는 역할을 합니다. 그렇기 때문에 미분연산자 뒤에 오는 식을 괄호(~~)로 감싸주어 어떤 식을 미분할 것인지 정확하게 써줍니다. (1)번 식에서는 좌변에서 를 미분하며 우변에서는 0이라는 상수를 미분하라는 것을 나타냅니다.

(2)번 식을 봅시다. (1)번 식의 미분연산자를 풀어서 각 항(x, y, 상수항)에 붙여줍니다. 우변에서는 0을 미분한 결과가 0이니 그대로 씁니다. 이 단계에서 미분법을 통해 각 항을 미분할 수 있습니다.

(3)번 식에서는 x항과 상수항을 미분한 결과를 썼습니다. 미분법을 이용하여 쉽게 계산할 수 있지요. 그런데가운데 이상한 모양의 식이 생겼습니다. 어떤 변화가 생겼는지 비교해보도록 하죠.

 

 

위의 붉은 박스를 보면 식이 어떻게 바뀌었는지 한눈에 보입니다. (2)번의 경우 미분연산자(d/dx) x를 미분하는 연산자입니다. 그런데 뒤에 자신은 알지도 못하는 y항이 나와있네요. 이 경우 미분연산자는 무엇을 해야 할지 몰라 멍~하고 있게 됩니다. 따라서 (3)번 식에서 미분이 가능하도록 미분연산자를 d/dy로 바꿔줍니다. 그러나 식을 함부로 바꿔선 안되겠죠? 이 문제의 해답은 바로 연쇄법칙(Chain Rule)에 있습니다.

 

여기서 다시 연쇄법칙을 복습하도록 합시다. 괜히 이전페이지로 넘어가 다시 이전 강의를 살펴보기 귀찮기도 하구요.. 그만큼 연쇄법칙이 중요하기도 해서입니다.

연쇄법칙은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

 

 

위의 식은 연쇄법칙의 또다른 표현 방법입니다. 여기서 눈여겨보아야 할 것은 바로 모양입니다. 좌변(왼쪽 항)에서 dy dx로 이루어진 식이 있고 우변(오른쪽 항)에는 사이에 du가 더 있습니다. 여기서 du가 약분되는 것처럼 서로 분자와 분모위치에 있어야 합니다. 이런 방법으로 dy/dx를 다음처럼 마음대로 변형할 수도 있습니다.

 

 

11-2번 식을 봅시다. 이처럼 dy/dx를 자유롭게 변형할 수 있습니다. 위의 색깔이 있는 변수들의 짝을 맞추어준다면 말이지요. 저런 식으로 원하는 변수를 짝을 맞추워 끼워넣을 수 있습니다.

 

다시 본론으로 돌아오도록 하죠. 위에서 식을 어떻게 바꾸었는지 봅시다.

 

 

위에서 본 연쇄법칙(Chain Rule)과 똑같은 원리로 식을 바꾸었지요? 이렇게 미분연산자를 바꿔주어야 계산이 진행됩니다.

 

(4)번 식에서는  , 으로 계산하여 쓴 식입니다.

  

(5)번 식은 그대로 정리한 것이네요.

음함수 미분은 연쇄법칙(Chain Rule)을 응용하여 풀 수 있습니다. 이런 원칙을 일반화하면 다음과 같이 말할 수 있습니다. 함수에서 x는 마음대로 미분을 하고 y도 똑같이 미분합니다. 여기에 y의 경우에는 미분을 똑같이 한 후에 y’(dy/dx)라고 더 써줍니다. 예제를 풀어보면 더욱 쉽게 와닿을꺼에요. 

 

3. 음함수의 고차 미분

음함수의 미분법을 배웠으니 이제 대부분의 함수를 미분할 수 있게 되었습니다. 근데 음함수를 2번 미분해야 할 경우에는 어떻게 할까요? 이 역시 똑같이 하면 된답니다. 예를 보며 설명을 하겠습니다. 예제로 나온 문제는 Schaum’s Calculus Outline 99p. 에서 가져왔습니다.

 

 

 

여기서 y’식을 대입하면,

 

 

이렇게 음함수의 고차 미분 역시 계산을 다 한 후에 주어진 식(미분하기 전의 식)을 대입하여 계산하면 됩니다.

 

이번 강의에서는 음함수 미분법에 대해서 알아보았습니다. 이제 x y로 이루어진 어떤 방정식도 자유롭게 미분을 할 수 있게 되었어요~ 미분법과 연쇄법칙 그리고 음함수의 미분법을 기억한다면 대부분의 다항식은 미분이 가능합니다. 다음에는 그래프에서 미분과 접선이 어떻게 쓰이는지 알아보겠습니다.

 

덧붙임) <1. 음함수란 무엇인가?>에서 예로 사용된 수식은 원의 방정식입니다. 원의 방정식을 공부했던 분들은 아시겠지만 원의 방정식은 함수가 될 수 없습니다. 함수(function)이란 1:1대응이어야 하기 때문입니다. 따라서 음함수라는 명칭을 붙이기 위해서 원의 방정식의 범위를 y>=0으로 한정했습니다. 물론 음함수 미분법으로 원의 방정식(y의 범위에 무관한)을 미분해도 틀리진 않습니다.

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지용호별님 (116.♡.16.13) 2008-10-04 (토) 11:11
내용 굿
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조호진별님 (211.♡.64.96) 2008-10-04 (토) 13:13
오오 무려 5개월만에!!;;
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박재민별님 (61.♡.225.190) 2008-10-04 (토) 19:19
드디어!!!!!!
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이형철별님 (211.♡.126.215) 2008-10-05 (일) 11:11
멋진 조인만의 미적분학 강의!
이거 책으로 출판해도 되겠는걸?
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김종강별님 (119.♡.46.32) 2011-03-27 (일) 23:23
정말 고맙습니다^^*,,
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무임소장관별님 (210.♡.115.13) 2013-12-03 (화) 10:42
고등시절 미.적분은 잘했는데. 다시 공부하기 위해 스크랩합니다.
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