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5. 미분의 여러 규칙들
글쓴이 : 조우성 별님  (116.♡.229.86) 날짜 : 2008-05-12 (월) 20:20 조회 : 15765
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미분의 여러 규칙들

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이번에는 함수를 미분할 때 지켜야 할 여러 규칙들에 대해서 알아보겠습니다. 매번 순간변화율이라는 방법을 통해 함수의 도함수를 구할 수는 없으니까요. 수학적인 방법을 통해 미분법을 찾아보고 이를 도함수를 구하는데 써봅시다.

(덧붙임 :: 정말 쉽게 설명을 하려다보니 글이 길어졌네요. 미적분학을 공부하셨던 분들에게는 조금 지루할 수도 있다고 생각합니다..)

 

1. 일반적인 미분 규칙들

아래에 소개할 규칙들은 순간변화율의 방법을 통해 모두 증명이 가능한 일반적인 미분 규칙들입니다. 꼭 숙지하고 계셔야 자신이 원하는 함수의 도함수를 능숙하게 구할 수 있습니다.

 

_?xml_:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" />  c는 상수

 

 

   덧셈공식

    뺄셈공식

 

 곱셈공식

 

 

  

 

  (m은 상수)

 

위에서 u v는 임의의 함수입니다. 특이한 규칙에 대해서 조금 더 설명을 드리겠습니다. 1번의 경우 상수는 미분하면 0이 됩니다. 당연하겠죠? 어떤 경우에도 변하지 않는 숫자이니 순간순간 변화율이 없으니까요. 3번은 상수와 함수가 같이 있을 때 상수는 놔두고 함수만 미분하면 됩니다. 4번은 함수들이 쭉 더해져있을 때 그냥 각각 미분하면 된다는 것이고… 5번 역시 같은 의미입니다. 6번은 매우 중요합니다. 함수끼리 곱해져있을 때에는 한 녀석을 미분하고 하나는 그대로 곱해줍니다. 그리고 공평하게 반대로 미분하고 남은 녀석을 곱해줍니다. 그리고 모두 더하지요. 자주 쓰면서도 실수를 자주 하는 규칙이니 많은 연습을 통해 익혀두셔야 합니다. 7번은 분수함수 미분이라고도 부릅니다. 분수모양의 함수를 미분하는 규칙인데 외우는 방법이 있습니다. “분모 제곱 분의 분자미분 빼기 분모미분이라고 달달달 읊조립니다. 이렇게 입으로 중얼중얼 외워야 절대 헷갈리지 않아요. 만약 실수해서 분자미분 빼기 분모미분순서가 바뀐다면시험문제를 그냥 틀리게 됩니다. 7번 분수함수 미분은 분모제곱 분의 분자미분 빼기 분모미분으로 경전마냥 중얼중얼 외워두세요..

8번 규칙은 9번 규칙의 한 부분입니다. 그런데 자주 만나게 되므로 그냥 규칙처럼 굳어져서 외워집니다. 억지로 외우지는 마세요. 9번은 다항식의 미분법을 모두 대표합니다. 일반적인 다항식의 경우 9번 규칙과 3, 4번 규칙으로 모두 미분이 가능합니다.

 

이 규칙들은 Schaum’s outlines Calculus 86p에서 가져왔으며 이에 대한 증명은 첨부한 PDF문서를 참고하시기 바랍니다.

 

2. 복합함수와 미분법(Composite function & Chain Rule)

복합함수가 무엇인지부터 알아보겠습니다. 예를 드는게 가장 빠르겠네요.

이라고 하면  으로 쓸 수 있습니다. 이를 복합함수라고 합니다. 함수 두개 혹은 여러 개가 중첩이 되어있는 것이지요. 이런 경우의 함수를 미분해야 할 때가 자주 있습니다. 지금부터 복합함수의 미분법을 알아보겠습니다.

 

                                         

 

복합함수의 미분은 바깥함수(Outer function)을 미분한 후 다시 안쪽함수(Inner function)을 미분해서 곱해줍니다. 이런 법칙을 보통 연쇄법칙 혹은 체인룰(Chain Rule)이라고 부릅니다. 연쇄법칙을 이용하여 미분을 하면 복합함수를 굳이 계산하여 모두 풀어보지 않고도 미분을 할 수 있지요.

 

연쇄법칙은 아주 중요하니 예제를 살펴보겠습니다.

예제) f(x) = x^2 , g(x)= 2x+1 일 때 f(g(x))의 도함수를 구하시오.

풀이1) f(g(x))를 모두 계산합니다.


 

 

풀이2)연쇄법칙(Chain Rule)을 이용하여 계산합니다.

 

 여기서 f’(x)=2x 이고 g’(x)=2 이므로 연쇄법칙에 넣어 계산하면,


연쇄법칙을 자세하게 풀어쓰니 더 길어보이네요. 그러나 사실 첫번째 문장에서 모든 계산은 끝난것과 마찬가지입니다. 복잡한 수식의 경우에는 연쇄법칙이 매우 유용하니 꼭 익혀두셨으면 합니다.

 

 

3. 연쇄법칙의 다른 표기법

이 역시 매우 중요한 표기법입니다. 연쇄법칙으로부터 유도된 재미있는 표기법인데요. 미적분학에서 자주 등장하는 표현이며 나중에 편미분에서도 자주 쓰는 표기법입니다.

, u=g(x) 라는 함수가 있고 y=f(u)라는 함수가 있다고 합시다. 여기서 f(u)라는 함수 안에 g(x)라는 함수가 들어갈 수 있지요. 따라서 두 함수는 복합함수로 만들어질 수 있습니다.

자 이제 f(g(x))를 미분해봅시다. , 이 복합함수는 실제로 어떤 변수들로 구성되어 있을까요? 바로 y=x~~~~ 처럼 y x로 구성되어 있겠죠? 잘 이해가 안되신다면 간단히 문제를 만들어서 적용해보셔도 좋습니다.

 

                                                  

 

연쇄법칙을 위처럼 나타낼 수도 있습니다. 잘 보세요. 우선 f(u=g(x))라는 함수의 f(u)라는 함수를 미분합니다. 그리고 안에 있던 g(x)라는 함수를 다시 미분하여 곱해주죠. 그 과정을 한번에 쓴 것입니다. 이 표현에서 주의할 사항이 있습니다. 바로 왼쪽의 y와 오른쪽의 y가 같지 않다는 점입니다. 왼쪽의 y x로 이루어진 복합함수이고 오른쪽의 y u로 만들어진 원래 함수이기 때문입니다. 이와 같은 원리로 등식 오른쪽에서 첫번째 u 와 두번째 u가 다릅니다. 첫번째 u(분모에 있는 u)의 경우 단순히 변수이며 두번째 u(분자에 있는 u)의 경우에는 함수이기 때문입니다.

                                              

미적분을 공부하는 많은 학생들이 연쇄법칙에 익숙하면서도 이런 사실을 간과하기 쉽습니다. 그래서 위의 식에서 분모의 du와 분자의 du 가 약분이되어 왼쪽의 dy/dx 라는 결과가 나온다고 이해할 수도 있습니다. 그러나 절대 그렇게 될 수 없으며 단지 연쇄법칙의 수학적 표기가 약분되는 것처럼 보일 뿐입니다.

참고로 d/dx는 미분연산자라고 부릅니다. 이 연산자는 +,- 와 같은 역할을 합니다. +기호가 숫자를 더하라는 뜻을 가진 것처럼 미분연산자 d/dx y라는 함수를 미분하라는 뜻을 가지고 있습니다. 그래서 이 연산자와 y를 같이 써서 dy/dx 라고 쓰기도 하며 따로 연산자를 구분하여 d/dx * y라고 쓰기도 합니다. (이런 표기법은 챕터3. 미분과 도함수 편에서 처음 설명했습니다.)

결국 d/dx 꼴은 연산자이기 때문에 약분이 불가능합니다. ^^ 절대 헷갈리지 마세요~

 

4. 역함수의 미분

역함수(Inverse Function)이라는 함수가 있습니다. 이 함수는 임의의 함수에서 y x를 서로 바꾸는 것을 말합니다. 그래프에서는 y=x라는 직선으로 대칭을 시킨 것을 의미합니다. 쉬운 이해를 위해 예를 들어보겠습니다.

 

 

 

위의 그래프는 y=x^2의 그래프를 나타낸 것입니다. 여기서 역함수를 구해봅시다. 역함수는 y x의 자리를 바꾸면 됩니다. 그럼 x=y^2 이 되겠네요. 이를 정리하면 y=x^(1/2)가 됩니다.

 

이 두 함수를 그래프에 그려보면 y=x 라는 직선과 (1,1)이라는 점에서 만나게 됩니다. 이를 잘 보면 y=x에 대해 대칭이기도 하지요. 대칭이라는 말을 쉽게 설명하자면 y=x라는 직선을 기준으로 그래프를 접었을 때 두 함수(원래함수와 역함수)가 만나게 된다는 것입니다. 마치 도장을 찍은듯이 말이지요. 역함수의 특징은 바로 y=x축에 대칭이라는 것입니다.

이제 원래함수(y=x^2)에서 (0.8, 0.64)점의 기울기를 구해보겠습니다.

 

 

우리가 구한 기울기는 1.6이네요.

그 다음 역함수(y=x^(1/2))에서 (0.64, 0.8)점의 기울기를 구해보겠습니다. 벌써 눈치채신 분도 있겠죠? 역함수에서 기울기를 구하려는 점은 원래함수에서 구하려는 점과 y=x축 대칭입니다.

 

 

위의 그래프에는 파란색 점선으로 두 점에서의 접선을 그려놓았습니다.

이제 재미있는 결과가 나옵니다. 그래프를 보면 직관적으로 두 접선의 관계가 보입니다. 원래함수, 원래 점과 마찬가지로 접선 역시 y=x축에 대칭이 되어있는 것이죠. 중학교 수준의 산수를 조금 해본다면 접선이 y=x축으로 대칭될 때 접선의 기울기는 <1/기울기> 꼴이 될 것입니다. 위의 예제를 통해 확인해보겠습니다.

1/0.625 = 1.6

계산기로 계산을 해보니 정확하네요. 이런 사실을 바탕으로 우리는 역함수의 미분을 계산할 수 있습니다.

 

                                          

역함수의 미분은 중요한 원리는 아닙니다. 그러나 미분하기 어려운 함수가 있을 경우 때에 따라서 역함수를 구해 위의 방법처럼 계산하면 쉽게 미분계수(기울기)를 구할 수 있습니다.

 

 

5. 고차미분

미분은 한 번만 할 수 있는 것이 아닙니다. 2번도 할 수 있고 3번도 할 수 있지요. 어떻게 하냐구요? 간단합니다. 원래함수를 미분하여 얻은 함수가 도함수이죠? 이 도함수를 또 미분합니다. 그럼 도함수가 다시 나오죠. 이 도함수를 또 미분합니다. 이렇게 계속 미분하면 고차미분이 되는 것입니다. 단지 미분을 몇 번했는가 표시하는 것일 뿐 미분법은 똑같습니다.

 



 

이렇게 미분법을 알아보았습니다. 미분법은 미분을 하는 규칙을 수학적으로 정해놓은 것이기 때문에 많은 연습이 필요합니다. 필요한 도함수를 빨리 계산하기 위해선 말이지요. ^^

다음에는 음함수(Implicit Function)의 미분에 대해 알아보겠습니다.


강좌의 순서 및 일부 내용은 Schaum's Outline Calculus의 내용을 따랐습니다.

연습문제의 일부 문제와 풀이는 Schaum's Outline Calculus에서 가져왔습니다.


 

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이민경별님 (221.♡.192.74) 2008-05-25 (일) 01:01
우와! 마침 학교진도가 미적분인데,
학교선생님보다 훨 쉽게 설명해주셨어요>< <br/>정말 소설처럼 쉽게 읽을수 있는 것 같아요
얼른 다음강의 올려달라고 막 조르고 싶네요ㅋㅋㅋ
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조호진별님 (211.♡.64.8) 2008-05-28 (수) 00:00
5월 12일인가요 ㄷㄷ;;
왜 이때 못봤지 ㄱ-;;
근데 사실 문제 풀 때 분수로 놓고 풀어도 오류가 발생하지 않는다고 Calculus엔 나와있더군요.;;
다음 강의 빨리 올려주세요 ㄷㄷ;;
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조우성별님 (219.♡.139.173) 2008-10-05 (일) 21:21
호진님//분수로 놓고 풀어도 됩니다. 저도 그러거든요.
근데 처음 배울때부터 분수와 같은 사용법으로 공부하시면... 나중에 깊이있는 미적분을 사용해야 할 때 머리가 엄청 복잡해집니다 ㅋㅋ

뭐 처음 배우는거라면 원리도 알아두시는게 좋아서 저렇게 강조한겁니다..ㅎ
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무임소장관별님 (210.♡.115.13) 2013-12-03 (화) 10:41
자료 스크랩합니다
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