천문학, 물리학, 광학 이론과 관련된 이야기를 나눌 수 있는 곳입니다.
총 게시물 230건, 최근 0 건
   
4. 미분과 도함수
글쓴이 : 조우성 별님  (211.♡.21.4) 날짜 : 2008-05-06 (화) 20:20 조회 : 14366
미분과_도함수_연습문제.pdf (247.4K), Down : 7, 0000-00-00 00:00:00
_?xml_:namespace prefix = w ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:word" /> 

미분과 도함수(Differential & Derivative)

_?xml_:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /> 

 

극한과 연속이라는 개념을 알아보았습니다. 그동안 미분이 궁금해서 오셨던 분들은 어서 미분이나 보여줬으면 하셨을겁니다..ㅎ 이제 극한의 개념을 가지고 미분을 하나씩 알아보겠습니다. ? 연속은 어디서 쓰냐구요? 연속이라는 개념은 함수에서 미분가능성을 판별할 때 매우 중요하답니다. 실제로 물리, 천문을 공부하면서도 많이 접하는 개념이기도 합니다. 지금부터 극한의 개념을 통해 미분을 알아보도록 하겠습니다.

 

1. 평균변화율(average rate of change)

평균변화율을 살펴봅시다. 평균변화율은 임의의 함수에서 x가 변화했을 때 y가 얼마나 변했는지를 나타내주는 것입니다. 물리에서 평균속도와 같은 개념이죠. 더 자세히 알아보기 위해 예를 들어보겠습니다.

_?xml_:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" />

 

위의 그래프는 y=x^3을 그린 것입니다. 여기서 x의 변화량을 Δx라고 합니다. y의 변화량은 Δy가 되겠죠? X 2에서 3으로 증가할 때의 Δx 1이 됩니다. 그동안 Δy 27-8 19가 되지요. 평균변화율은 다음과 같이 나타냅니다. 참고로 Δx는 ‘델타 x (Delta x)’라고 읽습니다.

 

위의 식에서 가장 오른쪽에 있는 모양이 낯설 것입니다. 그러나 생각해보면 매우 쉽습니다. y의 변화량을 구하는 방법, 27-8을 수학적으로 나타낸 것뿐입니다. 위의 그래프에서 x0 2이고 평균변화율은 19/1 = 19입니다. 참 쉽죠?

 

 

2. 도함수(The Derivative)

 

위에서 알아본 평균변화율을 바탕으로 순간변화율을 알아보겠습니다. 순간변화율이란 어느 점에서 순간적으로 변화한 비율을 이야기합니다. 수학적으로는 다음과 같이 기술합니다.

   

위의 식을 천천히 이해해봅시다. Δx가 처음 평균변화율을 구할 때에는 1이였습니다. 그러나 이 크기를 점점 줄여나가기 시작합니다. 1에서 0.5로 다시 0.1로… 이런식으로 매우 작게 줄여나가면 결국 Δx 0에 아주 가깝게 되고 따라서 2에서의 순간변화율이 될 것입니다. 극한의 개념을 잘 떠올리시면 됩니다. 이해를 돕기 위해 아래에 Δx가 점점 작아지는 그래프를 그려보았습니다.

 

이런 방법으로 한 점에서의 순간기울기를 구할 수 있습니다. 바로 이 기울기를 미분계수라고 하지요. 또한 위의 식2를 ‘함수f(x)에서 x0에서의 도함수(The Derivative)’ 라고 합니다. 도함수를 이용하면 자신이 원하는 함수에서 어떤 점에서의 접선의 기울기를 마음대로 구할 수 있지요. 바로 미분이란 이 도함수를 구하는 방법 혹은 수학을 말합니다.

 

3. 도함수를 나타내는 방법들

도함수를 나타내는 여러 수학적인 방법이 있습니다. 위의 2번 식처럼 쓰자니 너무 번거롭기 때문입니다.

   

보통 y f(x)위에 점을 긋는 방법(y f(x) )으로 많이 씁니다. 가장 표현이 간단하기 때문입니다. 그러나 문제를 풀 경우 개념적으로 dy/dx 라는 표현 또한 자주 쓰게 됩니다. 가장 오른쪽에 있는 표현은 나중에 여러 변수를 가진 함수를 미분할 때 유용하게 사용됩니다. 이처럼 표현법이 많은 이유는 번거로움과 혼동을 피하면서 개념을 직관적으로 이해할 수 있는 방법들이 다양하기 때문입니다.  일반적으로 물리학에서는 시간에 대한 미분을 표현할 때 변수 위에 점을 찍어 표현하기도 합니다.

   

미분이란 바로 임의의 함수에서 도함수를 구하는 방법을 말합니다. 가끔 미분이라는 개념이 ‘잘게 썬다’ 라고 설명을 합니다. 이는 Δx 0으로 매우 작아지는 모습이 꼭 x축이 잘게 썰리는 것처럼 보이기 때문입니다. 직관적으로 이해가 되죠?

 

지금까지 극한을 이용해 도함수를 구하는 방법을 알아보았습니다. 연습문제에서 도함수를 직접 구해보고 함수에서 어떤 점에서의 기울기를 계산해보겠습니다. 꼭 연습문제를 풀어보시길 바랍니다.


질문 : 델타(Δ)와 d의 차이(박재민 별님)

델타(Delta, Δ)란 일반적인 변화량(혹은 값의 변화량)을 의미합니다. 보통 수학에서 델타를 사용할 경우 셀 수 있는 간격이나 일반적인 값의 차이를 말합니다.
그러나 d(dy/dx)의 경우에는 셀 수 없이 아주 작은 간격, 즉 델타에 극한이 붙어 셀 수 없이 작은 간격을 의미합니다. 이는 결국 미분을 의미하게 되지요.

 

추가로 설명해드리자면 d는 단독으로 쓰일 수 없으며 미분연산자(d/dx)형태나 전미분(dx, dy 한창 후에 나올 미분의 한 형태입니다.)의 형태로 쓰여야 합니다.

 

 

[이 게시물은 최고관리자님에 의해 2012-12-20 12:42:03 소설같은 미적분학에서 이동 됨] [이 게시물은 최고관리자님에 의해 2015-02-05 14:24:04 물리학 게시판에서 이동 됨]

이형철별님 (222.♡.145.164) 2008-05-06 (화) 22:22
좋은 강의... 근데 chapter 4 가 아닐까?^^
댓글주소
조우성별님 (211.♡.21.4) 2008-05-06 (화) 23:23
경황이 없어서 실수를 했네요..^^;; 수정했습니다.
댓글주소
유환용별님 (203.♡.249.238) 2008-05-07 (수) 03:03
제가 고등학교 때 이런 글을 접할수 있었다면 굉장히 도움이 되었을텐데 너무 아쉬워요. 천문노트에 많은 고등학생 분들이 읽고 도움이 되었으면 하네요 ㅎ
댓글주소
지용호별님 (121.♡.140.207) 2008-05-07 (수) 14:14
어려워요~~ 징징~
댓글주소
조호진별님 (211.♡.64.8) 2008-05-07 (수) 21:21
아;;위에 점 찍은게 그 뜻이었군요 ㅎㅎ;;
전에 천문노트에 올라오던 강의들 중에서는 좋은 내용인데도 중간에 업로드가 끊기는 슬픈 일이 많았는데, 이건 끝까지 계속 올려주셨으면 좋겠네요.^^ 늘 감사합니다.;;
댓글주소
송용준별님 (163.♡.182.46) 2008-05-08 (목) 09:09
중간에 끊긴 강의라는 말에 뜨끔하다는...
댓글주소
이도언별님 (220.♡.144.11) 2008-05-08 (목) 11:11
......
댓글주소
박재민별님 (211.♡.218.214) 2008-05-08 (목) 23:23
열심히 봤느데 저는 무슨 말인지 잘 모르겠어요~......ㅜㅜ
연습문제 보니까 더 모르겠다는....
댓글주소
조우성별님 (211.♡.29.175) 2008-05-09 (금) 22:22
재민별님~ 어떤점이 어려웠는지 코멘트를 남겨주세요~ 어떤 점이 어렵게 설명이 되어있는지 다시 보고 추가설명을 붙이거나 하겠습니다 ^^
댓글주소
김태욱별님 (122.♡.216.196) 2008-05-09 (금) 23:23
dy/dx를 [디엑스분의 디와이]라고 읽는 것은 옳지 못합니다..
위에서부터 밑으로 [디와이디엑스]라고 읽는 것이 옳은 표현입니다..

물론 계산할 때 분수처럼 계산해도 문제되진 않지만요.
댓글주소
조우성별님 (211.♡.29.175) 2008-05-10 (토) 00:00
난 dy by dx라고 읽는데... dy over dx라고 읽어도 되는건가?
댓글주소
박재민별님 (61.♡.209.137) 2008-05-10 (토) 23:23
2번까지는 전에 대충 알고 있어서 이해가 되는데 3번 도함수 나타내는 방법이 좀 이해가 안되요;; 특히 식부분... d가 뭐죠?...변화량이랑 같은 뜻인가??...
댓글주소
조우성별님 (219.♡.139.156) 2008-05-11 (일) 00:00
미분을 dy/dx 라고 표현을 합니다. d라는 뜻은 delta에서 왔는데요. 델타는 셀 수 있는 간격을 나타낼 때 쓰고... d라는 것은 아주 작은 미소단위를 나타낼 때 쓴답니다.

따라서 아주 작은 부분의 차이를 d라고 나타내고 이를 미분기호로 쓰지요 ^^;;

자세한건 다시 정리해서 글에 덧붙이겠습니다.
댓글주소
김태욱별님 (122.♡.216.196) 2008-05-11 (일) 01:01
델타는 셀 수 있는 간격을 말함..
일반적으로는 변화량을 말함.
델타가 변화량의 뜻을 갖고있어서 difference의 d이기도 함..
수학의정석실력 미분과적분,수II에 나와있음.
댓글주소
조우성별님 (219.♡.139.144) 2008-05-12 (월) 01:01
아 맞다..ㅠ
댓글주소
무임소장관별님 (210.♡.115.13) 2013-12-03 (화) 10:40
스크랩합니다
댓글주소
   

총 게시물 230건, 최근 0 건
번호 이미지 제목 글쓴이 날짜 조회 추천
230 [우주론] 쉽게 보는 우주론-우주배경복사(CMB)와 초기우… 정호익별님 05-18 5522 0
229 나온지는 좀 됬지만.. 플라즈마 우주론 +1 김맹호별님 08-17 8748 0
228 Levi-civita와 kroneker-delta +6 조우성별님 03-11 8737 0
227 문명의 분류 +6 김민영별님 02-12 7627 0
226 광속을 넘어서 +13 김민영별님 02-12 8360 4
225 무한히 긴 끈 김민영별님 02-12 7613 0
224 지구 궤도의 근일점 이동 +8 김창환별님 03-21 11053 0
223 10. 2계 도함수와 변곡점 +4 조우성별님 02-01 19441 0
222 9. 증가함수 & 그래프 그리기 +4 조우성별님 01-27 14577 1
221 8. 롤의 정리와 평균값 정리 +12 조우성별님 01-23 19962 0
220 현대우주론의 한계 - 보완(link추가) +8 김현태별님 01-20 11486 0
219 렌즈와 거울 2 +2 김민규별님 12-31 11373 1
218 렌즈와 거울 +4 김민규별님 12-29 8609 0
217 우리가 보는 상(image) +2 김민규별님 12-26 8465 0
216 빛의 성질(기하광학) +4 김민규별님 12-22 8784 0
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  다음  맨끝
 
Since 2001.2.7 과학기술정보통신부 등록 비영리민간단체 천문노트. Copyright All rights reserved.
단체명 : 천문노트  |    고유번호 : 101-82-15888  |    대표자명 : 김태욱, 조우성  |    주소 : 138-804 서울특별시 송파구 가락동 93 금강빌딩 7층 710호  |    전화 : 02-543-3295  |    Fax : 02-6918-6888  |    통신판매신고번호 : 종로 제01-5696호  |    개인정보관리책임자 및 사이트관리자 : 지용호