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3. 연속성(Continuity)
글쓴이 : 조우성 별님  (211.♡.21.10) 날짜 : 2008-05-01 (목) 22:22 조회 : 13180
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연속성(Continuity)

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극한에 이어 연속성에 대해 알아보겠습니다. 연속성이란 무엇일까요? 말 그대로 어떤 것이 연속적으로 이어져있다는 성질을 나타냅니다. 우리는 미분을 위해 함수에서의 연속성을 알아볼 것입니다.

 

1. 함수의 연속성 정의

함수의 연속성은 무엇을 나타낼까요? 말 그대로 함수가 연속적으로 이어져있다는 것을 나타내는 것입니다. 그래프를 그려보면 쉽게 알 수 있겠죠?

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위의 그림은 이차함수를 그래프로 나타낸 것입니다. 보면 함수가 끊어짐이 없이 연속적이라는 것을 알 수 있죠. 이렇게 그래프를 그렸을 때 끊어짐 없이 연속적인 함수들을연속성을 갖는다라고 말을 합니다.

 위의 함수들은 어떨까요? 가장 왼쪽에 있는 함수는 y=1/x 꼴의 함수입니다. 이 경우에는 x=0일 때 함수가 이어져있지 않습니다. 그렇기 때문에 연속이 아니지요. 가운데 함수는 y=|x| 꼴의 절대값 함수입니다. 이 경우 x=0에서 함수가 뾰족하지만 이어져있기 때문에 연속성을 가지고 있습니다. 가장 오른쪽의 함수는  의 함수입니다. 이 경우 x=0일 때 함수값을 정의할 수 없습니다. X 0이 될 수 없기 때문이죠. 따라서 x=0일 때 함수가 이어지지 않으므로 불연속입니다.

 그래프를 그려보면 쉽죠? 함수의 연속은 미분과 아주 밀접한 관계가 있습니다. 어떤 함수가 x=a라는 점(혹은 임의의 구간)에서 미분이 가능하다면 그 점(혹은 구간)에서는 반드시 연속이기 때문입니다. 이는 수학이나 물리학에서 중요한 개념이 됩니다. 이 명제의 대우 즉, ‘연속이 아니면 반드시 미분이 불가능하다역시 성립합니다. 따라서 어떤 그래프의 불연속점이 존재한다면 그 점에서는 미분이 반드시 불가능하게 됩니다.

수학자들은 이런 연속성을그래프가 이어져있다라는 말을 대신할 수학적인 정의를 만들어놓았습니다. 이런 수학적인 정의가 없다면 모든 함수의 연속성을 판단할 때마다 그래프를 다 그려봐야 하겠죠? 연속성의 정의는 코시(Cauchy) 방법과 하이네(Heine)방법이 있습니다. 코시방법은 입실론-델타 방법을 사용하기 때문에 극한의 정의만큼이나 복잡합니다. 따라서 직관적이고 쉬운 하이네 방법만 다루겠습니다. 위키피디아(www.wikipedia.org)에서 함수의 연속성을 검색하면 코시의 방법도 소개가 되어있습니다.

, 임의의 함수에서 x=a 일 때 함수값이 존재하며 이 때의 극한값도 존재해야 합니다. 또한 함수값과 극한값이 같아야합니다. 이 세가지 조건을 모두 만족해야 비로소 연속성을 지닌다고 말을 할 수 있습니다. 위에 있는 세 그래프 중에서 첫번째 그래프(분수함수 꼴)의 경우 x=0에서 함수값을 정의할 수 없습니다. 무한대이니까요. 또한 좌극한과 우극한이 다르기 때문에 극한값 역시 존재하지 않습니다. 세번째 그래프 역시 극한값과 함수값 모두 정의할 수 없기 때문에 연속의 조건을 만족시키지 못합니다.

 

2. 연속함수의 성질

연속함수는 극한의 경우와 마찬가지로 여러 일반적인 성질을 가지고 있습니다. 연속함수끼리 더하고 빼고 곱하고 루트를 씌우고 나누어도 연속함수가 되기 때문이지요. , 연속함수끼리 나눌 때에는 분모함수의 함수값이 0을 가지는 지점에서 연속이 아니라는걸 주의하셔야 합니다.

또한 다항식(Polynomial Function)으로 이루어진 함수(x로 이루어진 함수)의 경우 모두 연속함수가 됩니다. 이유는 간단합니다. y=x 라는 함수가 연속이기 때문에 x라는 함수를 곱해도 연속함수, 더해도 연속함수, 상수를 곱해도 연속함수가 됩니다. 따라서  꼴의 모든 다항식 함수는 연속함수입니다. 그렇기 때문에 다항식으로 이루어진 함수의 경우 마음놓고 미분을 하기도 합니다..-.-

 

 3. 최대, 최소정리와 중간값정리(Intermediate Value Theorem)

연속함수에는 수학적으로 중요한 정리(Theorem)이 있습니다. 바로 최대, 최소정리와 중간값정리입니다. 중간값정리는 다른 수학적으로 중요한 정리를 유도하거나 방정식이 근을 가짐을 보이는데 쓰입니다.

최대, 최소정리

함수 f(x)가 폐구간 [a,b]에서 연속이면 이 사이에서 반드시 최대값과 최소값을 갖는다.

 

중간값정리

함수 f(x)가 폐구간 [a,b]에서 연속이고 f(a)f(b)일 때 개구간 (a,b) 사이에서 f(c)=k (k f(a) f(b)사이의 임의의 값)을 만족하는 c가 반드시 1개 이상 존재한다.

 말이 매우 어렵습니다.. 한국말이 이렇게 어렵게 느껴질 때가

이제부터 차근차근 알아보도록 합시다. 우선 최대, 최소정리부터 보도록 하죠. , 여기서 앞으로도 계속 쓸 표현법이 등장합니다. [a,b]라는 표현인데요. 이는 axb 를 뜻합니다. (a,b) a를 뜻하죠. [a,b)의 경우에는 ax라는 뜻입니다.

 

우선 최대,최소정리부터 알아봅시다.

위의 그래프에서 보면 폐구간에 대해 반드시 최대값과 최소값을 가짐을 알 수 있습니다. 최대값 M과 최소값 m x=a 혹은 x=b인 점일 수도 있지요.

옆의 그래프에서 만약 x가 폐구간이 아니라면 x=a라는 점이 구간에 포함되지 않기 때문에 최소값을 구할 수 없습니다. 잘 생각해보세요~ 극한의 개념을 부등식(a과 함께 생각해본다면 금방 이해하실 수 있습니다.

만약 연속함수가 아니라면… 최대값이나 최소값을 정의할 수 없게 됩니다. 최대값만 있고 최소값이 없다면 최대, 최소정리를 만족하지 않게 됩니다.
(
최대,최소정리에서는 반드시 최대값과 최소값 모두를 가져야 하기 때문이죠.)

위의 분수함수 그래프를 보세요. x=0인 점이 포함되게 x의 범위를 잡으면 최소값과 최대값을 정할 수 없습니다. 모두 무한대로 발산하기 때문이죠. 따라서 x의 폐구간에서의 함수가 연속함수가 아니라면 최대, 최소정리를 만족할 수 없게 됩니다.

 

다음으로 중간값정리에 대해서 알아봅시다.

위의 그래프를 보면서 설명을 하겠습니다. X 1부터 3.7까지 폐구간입니다. 이 때 y의 범위는 1에서 6까지가 되네요. 1에서 6 사이의 임의의 어떤 점 k를 잡아도 그 함수값을 만족하는 임의의 점 x=c가 존재합니다. 반드시 그렇게 되지요. 물론 이 점이 여러 개가 될 수도 있습니다. 그래프가 출렁출렁한다면 그렇겠죠? 만약 k y=0인 직선이라면 c라는 점이 바로 방정식의 해가 된답니다. 이런 원리로 방정식의 근의 유무를 확인하는데 중간값정리가 쓰입니다.

중간값정리는 미적분학 이외에도 수학에서 매우 중요하게 쓰이는 중요한 정리입니다. 물론 자주 볼 일은 없겠지만 깊이있는 이론물리학이나 수학에서 중요한 힌트가 되기도 하니 한 번쯤 구경해봐야 할 정리입니다. 증명이나 구체적인 설명은 미적분학을 벗어나기 때문에 넘어가겠습니다.

 

여기까지 연속성과 그에 따른 최대, 최소정리, 중간값정리에 대해 알아보았습니다. 다음에는 정말 미분이 무엇인지 파헤쳐보도록 하겠습니다. ^^

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조우성별님 (211.♡.21.10) 2008-05-01 (목) 23:23
이번 문서에는 기술적인 문제가 많이 있네요..PDF인쇄를 할 때 Word2007에서 만든 이미지가 불완전하다거나... 웹에 올릴 때 Style이 중복되어 천문노트의 코드와 충돌이 있다거나...ㅠㅠ

이번에는 Word2007 원본을 같이 올려드립니다. ㅠㅠ
글을 쓰는 것보다 웹에 올리는게 더 어렵고 시간이 걸리네요..ㅠㅠ
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조호진별님 (211.♡.64.8) 2008-05-02 (금) 19:19
아...첨점이 있는 그래프도 연속이라고 하는군요;;;
매번 좋은 강의 감사합니다.^^
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김태욱별님 (122.♡.216.196) 2008-05-02 (금) 19:19
우성이 미적 기본서 하나 써도 되겠다.. ㅋㅋ

제목 "Continuity"에 대한 잡담..

continual과 continuous의 차이도 유의할 영단어로 집고가면 좋을듯.

함수의 연속성에 적당한 수식어는 continuous가 되겠군여
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이형철별님 (222.♡.145.164) 2008-05-02 (금) 20:20
와... 대박이다... 정말 소설 처럼 잘 읽히는 미적분학...
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무임소장관별님 (210.♡.115.13) 2013-12-03 (화) 10:39
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