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2. 극한(Limit)
글쓴이 : 조우성 별님  (116.♡.229.97) 날짜 : 2008-04-20 (일) 19:19 조회 : 14685
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극한(Limit)

 

 

1. 극한이란 무엇인가?_?xml_:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />

미적분학은 흔히들 어려운 수학적 개념이라고 생각합니다. 수학을 잘하는 사람들만이 이해할 수 있거나 배워야 하는 학문이라고 생각하죠. 그러나 미적분은 사실 아주 간단한 생각에서 출발하게 됩니다. 따라서 미적분학을 배우는 것은 어려운 수학문제를 푸는 것보다 더욱 쉽고 재미있습니다. 극한은 미분을 만드는데 가장 기초가 되는 중요한 수학적 개념입니다. 우리는 극한을 함수(function)에 적용해 볼 것입니다.

함수에서 극한이란 임의의 함수에서 어떤 점에 아주 가까이 다가가는 수학적 개념입니다. 이렇게 어떤 점에 매우 가까이 접근하여 얻게 되는 값을 우리는 극한값이라고 합니다. 예를 들어봅시다.

 

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위의 그림은  의 그래프입니다. 여기서 우리는 x=2 일 때의 극한값을 구해보겠습니다. 극한은 수학적으로 아래와 같이 쓸 수 있습니다.

 

lim 이란 극한을 뜻하는 Limit에서 나온 것입니다. x2로 접근한다는 것을 lim이라는 수학기호 아래 화살표를 이용하여 나타냅니다. lim의 뒤에는 임의의 함수(위의 그래프에서는 x^2)를 표시합니다.

여기서 간단히 생각을 해봅시다. X2에 가까이 접근하기 위해 애를 쓰고 있습니다. 처음에는 2에 접근하기 위해 1.9라는 숫자까지 x가 왔다고 합시다. 이보다 더 가까이 2에 접근할 수 있겠죠? 그 다음에는1.99, 다음에는 1.999 또 다음에는 1.9999…… 이렇게 무한히 접근하면 2에 매우 가까워지겠죠. 이런 식으로 끝없이 가까워진다면 언젠가 함수값 4와 거의 비슷한 값에 도달하게 될 것입니다.
물론 아무리 무한정 가까워진다고 하더라도 4라는 숫자에 도착할 수는 없을꺼에요..^^ x가 2가 아니라 2에 무한정 가까워지기 때문이죠. 하지만 우리는 극한값을 4라고 쓸 수 있습니다. 1.9999.... 라는 무한소수가 2와 같다는 점과 극한(Limit)에 대해서 잘 생각해보신다면 극한값이 4인 이유를 알 수 있습니다.
 

 

2. 극한문제를 푸는 방법

일반적인 함수(연속함수의 경우, 연속함수는 다음 장에서 다룹니다.)에서 극한문제는 x가 접근하려는 값을 함수에 넣고 계산하면 쉽게 극한값을 구할 수 있습니다. 위의 경우에도 이라는 식에서 x값에 2을 대입하면 쉽게 문제를 풀 수 있습니다. 그러나 우리에게 중요한 것은 답이 아니라 생각하는 과정이기 때문에 어렵게 문제를 풀게 되었네요..

 

3. 극한의 정밀한 정의(어렵다면 넘어가셔도 좋습니다.)

극한을 수학이라는 언어로 정의해봅시다. 위에서는 무한히 접근한다는 애매한 설명으로 극한을 정의했지만 이번에는 수학적으로 정의해보겠습니다. 바로 ε-δ(입실론-델타)법입니다. 우선 수학적 정의부터 살펴보겠습니다.

 

수학적인 정의는 이렇게 됩니다. 어렵죠? 사실 글을 쓰는 저도 이해하기 어렵습니다..ㅠ 간단하게 설명을 하자면 다음과 같습니다. 임의의 함수 f(x)에서 어떤 점(=x0)에 접근한다고 생각을 합니다. 따라서 x0-δ 라는 점과 x0+δ라는 두 점에서 다가갈 수 있겠죠. 이렇게 얻어진 두 점에서의 함수 값은 L-ε, L+ε이라고 합시다. 여기서 δε은 매우 작은 숫자이며 양수입니다. 이 식이 뜻하는 것은 임의의 어떤 숫자 δ을 넣어도 그에 해당하는 ε이라는 값이 존재한다는 것입니다. 따라서 ε이 어떤 값보다도 훨씬 작을 수 있으며 그에 따라 δ도 훨씬 작은 수가 될 수 있다는 것을 뜻합니다. 쉽게 생각해봅시다. 제가 δ 0.9라고 정했을 때 여러분은 0.99라고 주장할 수 있다는 것입니다. 그럼 저는 0.999라는 숫자를 제시할 수 있구요. 여러분은 다시 0.9999라는 더 작은 숫자를 제시할 수 있습니다. 이런 식으로 끝없이 더욱 더 작은 숫자를 제시할 수 있으며 이런 값에 해당하는 ε값이 반드시 존재한다는 것입니다. 결국 ε 0에 가까워지겠죠.

이해를 돕기 위해 그림을 하나 첨부했습니다…^^ 아래에서 다운로드받아 보시면 됩니다. (Thomas’ Calculus 11th Edition 스캔)

(실제로 ε이 독립적으로 변함에 따라 δ이 종속적으로 변한다고 책에서 봤습니다만이해를 돕기 위해 수학적으로 엄밀하게 설명을 따지지 않았습니다.)

 

4. 좌극한과 우극한

극한에는 두 종류가 있습니다. 바로 좌극한과 우극한입니다. 이름을 보니 무언가가 느껴지죠? 두 녀석이 쌍입니다.ㅋ 생각해봅시다. X=2라는 점에 무한히 다가가는 방법은 왼쪽에서 다가가는 방법(붉은색)과 오른쪽에서 다가가는 방법(녹색)이 있습니다.

 

 

 

붉은색의 극한을 우리는 좌극한이라고 하며 녹색의 극한을 우극한이라고 합니다. 이런 것이 왜 중요하냐면극한값을 정의하는 녀석이기 때문입니다. 극한값은 좌극한에서의 극한값과 우극한에서의 극한값이 같아야 합니다. 만약 두 극한값이 일치하지 않는다면 극한값은 존재하지 않는다라고 말합니다. 일반적인 함수의 경우에는 좌극한과 우극한의 값이 일치합니다. 그러나 가우스 함수같이 함수가 끊어져있는 경우에는 두 극한값이 일치하지 않는 점이 있기 때문에 극한값이 존재하지 않는 경우가 있습니다.

좌극한과 우극한은 다음과 같이 수학적으로 표시합니다.

 

 

 

만약 와 같은 식에서 x=0의 극한은 어떻게 할까요? 좌극한을 따지기가 불가능합니다. X가 음수일 수 없는데도 불구하고 좌극한을 따지기 위해선 x가 음수를 가져야 하기 때문이죠. 이런 경우에는 좌극한 없이 우극한의 값으로 극한값을 정하게 됩니다.

 

5. 무한대(infinity)

우리는 무한대(∞)라는 단어를 어렵지 않게 접할 수 있습니다. 꼭 수학을 배우지 않더라도 누구나 그 뜻을 알고 있을 정도니까요. 이렇게 쉬운 무한대를 극한이라는 개념을 통해 수학적으로 접근할 수 있습니다. 아래 그래프를 보며 설명을 하겠습니다.

 

 

 

이 그래프는 1/x 모양의 그래프입니다. y축과의 혼동을 피하기 위해 x축으로 1만큼 평행이동 시켰습니다. 여기서 x 1일 때의 극한을 구해볼까요?

 

 

위에서 하던 것처럼 x 1을 대입하려니 문제가 생깁니다. 분모가 0인 분수는 수학적으로 맞지 않죠. 따라서 정상적인 방법으로 극한값을 찾을 수 없습니다. 그래프를 보면 답이 더욱 확실히 나오죠. 사실 x=1일 때 y값은 무한대가 됩니다. 이렇게 극한의 개념을 통해 무한대를 찾을 수 있습니다.

무한대의 수학적인 정의를 잠깐 살펴보고 가겠습니다.

 

 

 

역시 수학적인 정의라 어렵게 느껴지네요. 쉽게 설명을 하면 다음과 같습니다. F(x)에서 x a로 접근해갈 때 어떤 수 M보다도 f(x)값이 더 클 수 있다는 것입니다. 점점 a에 가까워질수록 M도 점점 커지겠죠? 이를 잘 생각해보면 1/0 (분모가 0인 모양)은 모두 무한대가 됨을 알 수 있습니다. 분자가 상수인 상태에서 분모의 숫자가 작아지게 되면 그 분수는 매우 큰 값을 갖게 됩니다. 실제로 분모에 1, 0.5, 0.05 등을 넣어서 계산해보면 아실꺼에요. 이렇게 점점 분모의 숫자가 0에 다가갈수록(즉 작아질수록)전체 분수의 숫자는 점점 커지게 됩니다. 결국 무한대가 되는 것이죠.

무한대에도 종류가 있습니다. 음의 무한대와 양의 무한대가 있는데요. 그래프에서 아래로 무한정 내려가는 녀석을 음의 무한대라고 합니다. 무한히 작은 수이지요. 이를 -라고 씁니다. 반대로 그래프에서 무한정 위로 올라가는 녀석을 양의 무한대로 합니다. 아주 큰 숫자이지요. 이를 +라고 씁니다. 이 두가지 경우를 합쳐서 ±∞라고 쓰기도 합니다.

 

, 위의 그래프에서 파란색 선은 점근선(Asymptotes)라고 합니다. 위에서 그린 그래프는 절대 점근선과 만나지 않습니다. 단지 점근선에 무한히 가까워질 뿐입니다. 점근선에 대한 설명은 나중에 다시 할께요…^^

 

4. 극한의 여러 규칙들

극한에도 여러 규칙이 있습니다. 덧셈법칙, 곱셈법칙 등 연산에 대한 규칙이지요. 실제로 모두 증명이 가능합니다. 증명의 내용은 고등학교 문제집이나 교과서 더 자세한 증명은 대학교 교과서에서 쉽게 찾아볼 수 있으니 생략하겠습니다. 굳이 설명을 하지 않아도 될 만큼 낯이 익을겁니다.

 

 

위키피디아에서 가져옴

 

지금까지 극한에 대해 알아보았습니다. 실제 이 강의의 수준은 참 애매하죠. 고등학교 기초과정을 위주로 다루고 있기는 하지만 접근법이나 수학적 정의에서는 대학교 수준을 따라가고 있습니다. 저는 이 글이 호기심 많은 고등학생에게 신선한 자극제가 되었으면 합니다. 대학생에게는 당연하게 보이던 수학적 원리들을 다시 돌아볼 수 있는 기회가 되겠지요. 특히 수학적인 정의나 사고의 방법에서 많은 도움이 되었으면 합니다. 제가 글을 쓰기 위해 참고하는 책은 Thomas’ Calculus Schaums Calculus입니다. 일부 수식과 설명은 Wikipedia.com에서 참고했습니다.

 

다음에는 함수의 연속성에 대해서 짧게 설명하겠습니다.

 

 


웹으로 올리니까 가독성이 조금 떨어지네요. PDF파일로도 만들어서 올려드립니다.

(아무리 노력해도... 더 이뻐지기가 힘드네요 ㅠㅠㅠ)

인쇄해서 보실 분들께선 PDF파일을 받아 인쇄하시면 더욱 편리하고 우수한 강좌(??ㅋ)를 보실 수 있습니다.
첨부된 그림(Addition.pdf)은 Thomas' Calculus 11th Edition 93p 를 스캔한 것입니다.

 

연습문제의 경우 워드나 TeX로 만드는 것보다 손으로 쓰는 것이 더 빠릅니다.. 제가 문제와 풀이를 손으로 써서 올려드리려고 합니다. 혹시... 이쁘게 조판해주실 분 안계신가요..ㅠ

(너무 노가다에요..ㅠ 강좌를 준비할 시간도 빠듯한데 ㅠ)

문제의 출처는 Schaum's Outlines Calculus 4th Edition 에서 일부 발췌했습니다.


이 글은 다음 항목이 수정되었습니다. 지적해주신 여러분들께 감사드립니다.

2008-04-22 : <1. 극한이란 무엇인가>에서 "결국 4에 도달하게 된다."를 수정. - 김태욱별님(belletoiles)

[이 게시물은 최고관리자님에 의해 2012-12-20 12:42:03 소설같은 미적분학에서 이동 됨] [이 게시물은 최고관리자님에 의해 2015-02-05 14:24:04 물리학 게시판에서 이동 됨]

조호진별님 (211.♡.64.8) 2008-04-21 (월) 18:18
우왓...
다음 강의도 기대하겠습니다 ㅋㅋ
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조우성별님 (219.♡.139.166) 2008-04-21 (월) 20:20
관심을 가져주셔서 감사합니다~ㅋ 도움이 되셨는지 모르겠네요..^^
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김태욱별님 (122.♡.216.196) 2008-04-22 (화) 00:00
아주 멋진 짱멋진 글...
이렇게 하나하나 쌓이면 엄청난 자료가 될듯..

그런데 질문요..

//여기서 간단히 생각을 해봅시다. X가 2에 가까이 접근하기 위해 애를 쓰고 있습니다. 처음에는 2에 접근하기 위해 1.9라는 숫자까지 x가 왔다고 합시다. 이보다 더 가까이 2에 접근할 수 있겠죠? 그 다음에는1.99, 다음에는 1.999 또 다음에는 1.9999…… 이렇게 무한히 접근하면 2에 매우 가까워지겠죠. 이런 식으로 끝없이 가까워진다면 언젠가 함수값 4에 도달할 수 있을 것입니다. //

이부분 마지막에...

언젠가 4에 도달한다고 하셨는데요.. 4에 무한히 가까워질 뿐, 절대 4는 되지 않는다가 아닌가용?

가령... x가 0으로 Limx이면.. limx=0이지만 이 0은 0이 아니라 '무한소'라는...

긁적.
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박재민별님 (211.♡.201.114) 2008-04-22 (화) 00:00
이거다 직접 만드신건가요??
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유환용별님 (203.♡.249.238) 2008-04-22 (화) 01:01
네 순수 조우성 왕별님이 작성 하신 글이에요. 물리 천문학의 기초 지식을 제공하기 위해서 이런 훌륭한 글을 작성하십니다. 응원 많이 해주세요~
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조우성별님 (116.♡.229.90) 2008-04-22 (화) 18:18
아..태욱별님 말이 맞습니다... 정확한 지적 고맙습니다~
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이형철별님 (222.♡.145.164) 2008-04-30 (수) 22:22
정말 좋은 글이다.
재미있고, 유익하고, 정확한
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백승우별님 (164.♡.79.95) 2008-05-01 (목) 10:10
힘내! 좋은 글 기대할께~
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우미나별님 (124.♡.230.6) 2008-05-08 (목) 00:00
난 아무리 봐도 모르겠다;;
1번까지는 이해하겠지만,ㅋ
아무리 봐도 2번은 무리;; ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

역시 디자인이 킹왕짱이야!
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현동주별님 (210.♡.254.98) 2008-05-08 (목) 10:10
mmm...우성별님 수학을 아주 잘하시는가 봅니다. 수학 잘하는 사람들이 항상 부러웠었는데...근데 수학은 설명하는 분이 아무리 쉽게 설명해도 어렵기는 마찬가지?인것 같아요...나 한테는...ㅋㅋ 그런데 기왕 수고하시는 김에 혹 동영상으로 강의해서 올리실 계획은 없으신지? 그러면 더 인기 짱일 것 같은데요...기대해 봅니다. 건강하세요.
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이도언별님 (220.♡.144.11) 2008-05-08 (목) 11:11
우성이 형이 그럴 시간이 나질 않을껄요 천문노트에서 하는 일만 몇개나 되니까요 ;;
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김태욱별님 (203.♡.137.2) 2008-05-08 (목) 11:11
눈가리고 봐야하는 동영상강의... ㅎㅎㅎㅎ
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조우성별님 (219.♡.139.170) 2008-05-08 (목) 22:22
현동주님//나중에 문서작업이 끝나면 동영상강의도 시도해보겠습니다 ^^ 지금은 여건이 잘 만들어지지 않네요..ㅠ
관심 감사드립니다. ^^

우선 문서로 기초적인 내용이 완성되면 부족한 내용(심화된 내용이나 역사적 배경, 여러 수학적 방법들)이나 연습문제를 보충할 계획입니다. 이 때 필요한 경우 10분내외의 동영상 강좌(칠판만 클로즈업해서요 ㅋ)도 생각중입니다.
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김태욱별님 (122.♡.216.196) 2008-05-09 (금) 23:23
조인성동생 조우성님이 왜 약한모습..
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무임소장관별님 (210.♡.115.13) 2013-12-03 (화) 10:38
스크랩합니다
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