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렌즈와 거울 2
글쓴이 : 김민규 별님  (122.♡.168.52) 날짜 : 2008-12-31 (수) 22:22 조회 : 9455

빛이 렌즈를 통하여 굴절되거나 거울을 통하여 반사되는 것은 어떤 렌즈나 거울에서도 가능한 얘기입니다.

그러나 이 빛이 마음대로 들어가서 나오거나 하면 우리가 원하는 상을 얻을 수 없습니다.

거울이 없었던 시절에는 청동을 유리 대신 썼다지요. 물론, 지금의 유리거울보다 아주 질이 떨어졌겠지만은

청동으로도 얼굴을 볼 수 있다는 것은 빛이 잘 반사되어 우리 눈으로 들어온 것이겠지요.

광학에서는 이러한 렌즈나 거울을 Cartesian surfaces(데카르트 표면)라 부르고 여기에는 세가지 종류가 있습니다.

타원, 쌍곡선, 포물선 모양의 렌즈나 거울을 말하는 것이지요. 그러나 눈치 채셨겠지만은 원은 포함되어 있지 않습니다.

결론만 말씀드리면 렌즈나 거울을 원모양으로 만들어 상을 보게 되면 빛의 광선이 1:1 대응이 되지 않아 흐릿하게 보입니다. 즉, 완벽한 상을 얻으려면 아래의 그림처럼 렌즈나 거울을 타원, 쌍곡면, 포물면으로 만들어야 합니다.

 

 

 

 

1:1대응에 대해 좀 더 설명하자면 보려고 하는 물체에서 출발한 빛이(사방으로 퍼져나감) 렌즈를 통해 상을 맺는데 이 물체가 부분적으로 위 아래가 바꼈다거나 하면 마치 그림퍼즐을 잘 못 맞추었을 때 이상한 그림처럼 보일 것 입니다. 그러나 물체와 상이 1:1대응이 되면 비록 상이 거꾸로 보인다거나 작아보인다거나 혹은 커 보인다고는 해도 원래의 물체와 똑같이 보이게 되는 것 입니다. 상이 맺어진다는 것은 이렇게 광선이 1:1 대응이 되어야 할 뿐만 아니라 같은 시간에 출발한 빛이 동시에 상을 맺는 위치에 도착해야 합니다.

 

그러나 사실은 타원면, 쌍곡면, 포물면을 깎기가 매우 어려우므로 보통은 구형(원)의 렌즈나 거울을 만들게 됩니다.

앞에서 얘기한 수차는 small-angle approximation(근축근사) 즉, 아래의 그림에서 빨간 큰 동그라미로 표시한 각(알파)이 작다고 가정하면 무시할 수 있으며,

 

 

 

아래의 렌즈에 대한 공식을 하나 유도할 수 있게 됩니다. (만약 각 '알파'가 크다고 하면 위 그림에서 노란색과 빨간색으로 색칠된 원끼리의 거리가 커지므로 이 원 사이의 거리를 무시할 수 없게 됩니다. 즉, 여기서 쓴 근축근사는 s ' 을 노란점이 아니라 빨간점부터 I 까지 거리로 근사할 수 있게됩니다.)

 

(수학적 절차는 제가 공부하는 책에도 있으며 혹시나 궁금하신 분은 요청하시면 설명을 덧붙여서 올려드리겠습니다. 괜한 수학공식 올려서 제 강의에 조회수가 떨어지지 않길 바라는 마음에서 이해해주시길)

 

여기서 S는 물체와 렌즈면 사이 거리이며 S '은 렌즈면과 상(image)사이의 거리이고 R은 렌즈면을 이어서 원으로 그렸다고 가정했을 때, 이 원의 반지름이며 곡률 반지름이라고 부릅니다.

이 식을 좀 더 일반적으로 나타내기 위해 초점거리 f 를 아래와 같이 정의하면,

다음의 mirror equation(렌즈방정식)으로 간단하게 됩니다.

 

이제 위의 공식을 언제 어떻게 적용하는지를 알아야 하는데 조금 정리하자면 지금 구형으로 된(즉, 원형의) 표면에서 빛의 반사에 관한 식을 알아 보았고, 이 구형이 오목인지 볼록인지에 따라 어떻게 쓰이는 지 아는 것만 남은 상태죠!!

 

앞서 말한 대로 바로 위의 공식이 오목이든 볼록이든 원형거울에 대한 반사에 적용되므로 우리가 알아야 할 것은 오목과 볼록에서 위의 함수의 부호만(양수인지 음수인지) 신경쓰면 됩니다.

 

그러기 위해선 먼저 Vertex(정점)가 무엇을 말하는지 알아야하므로 아래 그림을 또 제가 그렸습니다. 네. 한글로다가..^^

그림에서 왼쪽은 볼록거울 오른쪽은 오목거울입니다. 그리고 빨간색으로 색칠한 것이 Vertex(정점)라고 부르는 점 입니다. 즉, 광축과 구면과의 교점을 Vertex(정점)이라고 합니다.

 

이제 본격적으로 부호를...

우선 S(물체와 렌즈 사이의 거리이죠)

물체가 Vertex의 왼쪽에 있으면 양수, 즉 볼록거울이면 양수, 오른쪽에 있으면 음수. 즉, 오목거울이면 음수입니다. 아직 무슨 말인지 잘 모르시겠지요?

이제 좀 집중하셔야 합니다. 여태껏 대충 보시다가 아래글도 대충 보시면 이해가 안됩니다. 자세히 설명할테니 부디 봐주세요^^

 

이제 물체(Object)는 진짜 물체고 상(Image)은 그냥 빛의 맺힘이다라고 생각하시는 편견을 버려주세요. 물체도 Real 과 Virtual(가짜) 두개가 있으며, 상도 Real 과 Virtual 두개가 있습니다. 하나의 렌즈를 사이에 두고 만약 렌즈의 왼쪽에 물체가 있으면 오른쪽에는 상이 있어야 하며, 반대로 왼쪽에 상이 있으면 오른쪽에 물체가 있어야 합니다. 렌즈의 한쪽편에 물체와 상이 다 몰려있을 수는 없는 것 이지요.

 

이제 다시 본론으로 돌아와서 여기서 말하는 물체는 볼록거울에선 Real Object이고 오목거울에선 Virtual(가짜) Object입니다. 바로 앞의 강의를 다시 보시면 아시겠지만 볼록 거울에서 빛이 반사될 때는 퍼지는 반면 오목거울에서는 빛이 모이게 됩니다. 이제 빛이 모여서 만드는 것이 상이라고 하였으니 볼록거울에서는 상이 어디있을까요? 오른쪽? 아님 왼쪽? 오른쪽에 있습니다. 볼록거울에서는 반사된 빛이 다시 퍼지므로 이 퍼지는 아래 그림처럼 빛을 가상으로 다시 모아주어야 합니다. 빨간색으로 동그라미 친 곳이 가상으로 모은 빛입니다. 사실 빛은 저기에 갈 수가 없죠! 거울이니까요

이제 상이 어디있나요? 렌즈의 오른쪽에 있죠?! 즉, Vertex의 오른쪽에 있죠. 그러면 자동으로 물체는 어디있을까요? 왼쪽에 있게 됩니다. 앞에서 렌즈의 왼쪽에 물체가 있으면(즉, Vertex의 왼쪽) S가 양수라고 하였으므로 볼록거울에서는 양수입니다.

 

이제 오목거울을 볼까요.

오목거울은 거울에 반사된 빛을 모은다고 하였습니다. 빛이 모인 것이 상이므로 상이 이제 어디있나요? 왼쪽이죠!! 그러면 물체는 자동으로 Vertex의 오른쪽에 있게 됩니다. 즉, 오목거울일때 S는 음수가 되는것이지요. 아래그림 참조

 

그리고 물체에는 Real 과 Virtual 이 있다고 하였는데 볼록거울에서는 물체가 왼쪽에 있는 것을 알았고, 원래 진짜로도 왼쪽에 있으므로 Real Object이고 오목거울에서는 원래 물체는 왼쪽에 있는데 오른쪽에 물체가 있는 것으로 보이므로 Virtual Object가 되는 것 입니다.

 

헷갈리실까봐 아직 얘기 못하고 있었는데 이제 한마디 할께요. 우선 위에 개념이 확실하게 잡혔다고 가정하고요.

솔직히 말씀드리면 볼록거울은 얘기한대로지만 오목거울은 물체가 거울의 초점 안에 있으면, 상과 물체의 위치가반대가 됩니다. 

 

이제 거울과 상의 거리 S '을 알아볼께요. 조금 쉬었다 오세요. 너무 길죠^^ 저는 2008년 마지막 2~3시간을 남겨두고 이러고 있답니다.

 

볼록거울에서는 앞에서 말한대로 상과 물체의 위치가 변하지 않으므로, 상은 거울의 오른쪽에 있으며, 즉, Vertex의 오른쪽에 있으므로 S ' 의 부호는 음수입니다.

 

그러나 오목거울에서는 초점을 기준으로 왼쪽에 실제 물체를 두었을 경우에는 S ' 이 양수가 되지만 이 물체를 초점안으로 가져오게 되면 S ' 이 음수가 됩니다.

 

마지막으로 곡률 반지름 R에 대해 알아보겠습니다.

앞의 식을 그대로 가져오면

이며, 우변의 부호는 f 의 부호이며, 즉, 오목거울의 R은 음수, 볼록거울의 R은 양수 입니다.

 

 

다음 강의때는 구형(원)렌즈에서의 굴절에 관한 공식을 알아보겠습니다.

2008년 마지막 강의를 마치면서 이제 2시간이면 오는 2009년에는 천문의 해를 맞아 더욱더 강의의 질과 upload에 신경스겠습니다. 모두 새해 복 많이 받으세요^^

 

 

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최정순별님 (115.♡.191.118) 2011-09-29 (목) 11:48
2011년에야 봅니다. 감사
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